高考申論題
107年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
下表為 2012 年時 19 個縣市的資料，若以粗出生率為反應變數 $Y$，四個解釋變數分別為勞動力參與率（$X_1$）、就業者之教育程度結構-大專及以上（$X_2$）、老化指數（$X_3$）、平均每人環保經費（$X_4$）。
| 縣市 | 粗出生率（$Y$） | 勞動力參與率（$X_1$） | 就業者之教育程度結構-大專及以上（$X_2$） | 老化指數（$X_3$） | 平均每人環保經費（$X_4$） |
|---|---|---|---|---|---|
| 新北市 | 8.79 | 58.8 | 45.59 | 59.00 | 2.14 |
| 臺北市 | 9.54 | 56.5 | 71.40 | 88.31 | 2.38 |
| 臺中市 | 9.04 | 59.4 | 44.49 | 53.28 | 1.55 |
| 臺南市 | 7.58 | 59.3 | 40.46 | 82.69 | 1.29 |
| 高雄市 | 7.72 | 57.1 | 44.88 | 74.13 | 1.73 |
| 宜蘭縣 | 7.71 | 57.5 | 35.30 | 90.68 | 1.02 |
| 桃園縣 | 8.99 | 59.3 | 41.89 | 48.07 | 1.48 |
| 新竹縣 | 10.64 | 58.4 | 43.61 | 60.40 | 1.17 |
| 苗栗縣 | 9.05 | 57.9 | 33.24 | 88.50 | 1.37 |
| 彰化縣 | 9.07 | 58.9 | 32.76 | 77.93 | 0.86 |
| 南投縣 | 6.63 | 58.7 | 32.12 | 97.38 | 1.01 |
| 雲林縣 | 7.60 | 58.2 | 28.24 | 104.76 | 1.12 |
| 嘉義縣 | 6.62 | 59.1 | 27.02 | 119.34 | 1.05 |
| 屏東縣 | 6.16 | 56.0 | 31.56 | 93.39 | 1.38 |
| 臺東縣 | 7.61 | 57.4 | 23.28 | 89.59 | 1.14 |
| 花蓮縣 | 7.71 | 55.7 | 36.20 | 88.16 | 1.31 |
| 基隆市 | 5.17 | 55.2 | 44.16 | 84.23 | 1.81 |
| 新竹市 | 12.85 | 60.9 | 55.35 | 50.40 | 1.86 |
| 嘉義市 | 7.00 | 57.4 | 58.54 | 66.89 | 1.65 |
變數間的相關係數矩陣如下：
| | $Y$ | $X_1$ | $X_2$ | $X_3$ | $X_4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $Y$ | 1 | 0.605 | 0.413 | -0.616 | 0.248 |
| $X_1$ | 0.605 | 1 | -0.014 | -0.386 | -0.154 |
| $X_2$ | 0.413 | -0.014 | 1 | -0.522 | 0.819 |
| $X_3$ | -0.616 | -0.386 | -0.522 | 1 | -0.429 |
| $X_4$ | 0.248 | -0.154 | 0.819 | -0.429 | 1 |
（兩兩變數間的散布圖、模型估計結果與模型選取準則表如原卷所示）
| 縣市 | 粗出生率（$Y$） | 勞動力參與率（$X_1$） | 就業者之教育程度結構-大專及以上（$X_2$） | 老化指數（$X_3$） | 平均每人環保經費（$X_4$） |
|---|---|---|---|---|---|
| 新北市 | 8.79 | 58.8 | 45.59 | 59.00 | 2.14 |
| 臺北市 | 9.54 | 56.5 | 71.40 | 88.31 | 2.38 |
| 臺中市 | 9.04 | 59.4 | 44.49 | 53.28 | 1.55 |
| 臺南市 | 7.58 | 59.3 | 40.46 | 82.69 | 1.29 |
| 高雄市 | 7.72 | 57.1 | 44.88 | 74.13 | 1.73 |
| 宜蘭縣 | 7.71 | 57.5 | 35.30 | 90.68 | 1.02 |
| 桃園縣 | 8.99 | 59.3 | 41.89 | 48.07 | 1.48 |
| 新竹縣 | 10.64 | 58.4 | 43.61 | 60.40 | 1.17 |
| 苗栗縣 | 9.05 | 57.9 | 33.24 | 88.50 | 1.37 |
| 彰化縣 | 9.07 | 58.9 | 32.76 | 77.93 | 0.86 |
| 南投縣 | 6.63 | 58.7 | 32.12 | 97.38 | 1.01 |
| 雲林縣 | 7.60 | 58.2 | 28.24 | 104.76 | 1.12 |
| 嘉義縣 | 6.62 | 59.1 | 27.02 | 119.34 | 1.05 |
| 屏東縣 | 6.16 | 56.0 | 31.56 | 93.39 | 1.38 |
| 臺東縣 | 7.61 | 57.4 | 23.28 | 89.59 | 1.14 |
| 花蓮縣 | 7.71 | 55.7 | 36.20 | 88.16 | 1.31 |
| 基隆市 | 5.17 | 55.2 | 44.16 | 84.23 | 1.81 |
| 新竹市 | 12.85 | 60.9 | 55.35 | 50.40 | 1.86 |
| 嘉義市 | 7.00 | 57.4 | 58.54 | 66.89 | 1.65 |
變數間的相關係數矩陣如下：
| | $Y$ | $X_1$ | $X_2$ | $X_3$ | $X_4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $Y$ | 1 | 0.605 | 0.413 | -0.616 | 0.248 |
| $X_1$ | 0.605 | 1 | -0.014 | -0.386 | -0.154 |
| $X_2$ | 0.413 | -0.014 | 1 | -0.522 | 0.819 |
| $X_3$ | -0.616 | -0.386 | -0.522 | 1 | -0.429 |
| $X_4$ | 0.248 | -0.154 | 0.819 | -0.429 | 1 |
（兩兩變數間的散布圖、模型估計結果與模型選取準則表如原卷所示）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到本題，首先要將視覺上的散布圖與原始資料表進行對照。從 Y 與 X3 的散布圖中，可發現有一點的 Y 值特別高（接近 13），且對應的 X3 值偏低（約 50 左右）。對照資料表，可辨識出該離群值為「新竹市」（Y=12.85, X3=50.40）。接著，考點在於「排除該點後重新計算相關係數」。由於考試允許使用計算機，考生不需要徒手進行繁雜的平方和計算，只需將剔除新竹市後的 18 筆 (X3, Y) 資料輸入工程計算機的統計模式，即可得出新的皮爾森相關係數。
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AI 詳解
AI 專屬家教
【考點分析】 本題考查散布圖的判讀、離群值（Outlier）的辨識，以及皮爾森相關係數（Pearson Correlation Coefficient）的計算。 【理論/公式依據】
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