第 一 題

首先確認圓柱坐標系統的三個變數定義：徑向距離、方位角與高度。接著利用直角坐標與圓柱坐標的轉換關係，將 P 點 (0,0,6) 代入計算。最後需特別思考，當點落在 z 軸上時方位角是否具有唯一性，藉此點出坐標系統的幾何奇異性。

本題測驗圓柱坐標系在奇異點（Singular point）的幾何定義。考生應聯想直角坐標與圓柱坐標的轉換關係，特別是當點落在 z 軸上時，徑向距離 r=0 所導致的方位角（φ）未定義現象，進而推論基底向量的不確定性。

考生應先回想球坐標系統 (r, θ, ϕ) 的各變數幾何定義。接著由圖形直觀判斷，P 點位於 +z 軸上表示天頂角 θ=0，距離原點 6 即 r=6，並要特別說明在 z 軸上方位角 ϕ 可為任意值（坐標奇異點）的物理與數學特性。

遇到位於 z 軸上的點（如原點或極點），應立刻聯想到正交坐標系的「奇異點（Singularity）」特性。解題時可從直角坐標與球坐標基底向量的轉換公式切入，檢驗當天頂角 θ=0 時，基底向量 $\hat{\theta}$ 是否會受到未定義的方位角 $\phi$ 影響而產生多重解。