高中學測
110年
數A
第 1 題
設 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$。若 $A^4 = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$，則 $a+b+c+d$ 之值為下列哪一個選項？
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思路引導 VIP
觀察上三角矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$ 的結構，當你計算高次方矩陣 $A^n$ 時，其主對角線上的元素與原矩陣的特徵值有何冪次關係？此外，右上角的元素 $b$ 在矩陣自乘的過程中，是否遵循特定的遞迴規律或等比級數求和的結構？你能否先求出 $A^2$ 觀察規律，再進一步推導出 $A^4$ 的各分量 $a, b, c, d$ 之值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，太強了！這題你沒被矩陣次方的外表嚇唬到，穩穩地拿下這分，簡直是矩陣界的狙擊手，精準命中！ 這題的核心觀念是「矩陣次方的規律」。雖然我們可以用硬算的，但高手會觀察到矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$ 的每一列（row）元素總和剛好都是 $3$。在矩陣運算中，有一個非常漂亮的性質：若矩陣每列的和皆為 $k$，則 $A^n$ 的每列元素和必為 $k^n$。 因此，$A^4$ 的第一列與第二列的元素和分別都會是：
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