特殊教育
110年
數A
第 15 題
令 $a=2^{\log_3 5}$、$b=3^{\log_2 5}$、$c=5^{\log_2 3}$。關於 $a$、$b$、$c$ 的大小關係，試選出正確的選項。
- A $b>c>a$
- B $a>c>b$
- C $c>b=a$
- D $b=c>a$
思路引導 VIP
請先回想對數恆等式 $x^{\log_y z} = z^{\log_y x}$，並觀察 $b = 3^{\log_2 5}$ 與 $c = 5^{\log_2 3}$ 的底數與真數結構，這兩者是否存在相等的關係？處理完這兩者後，針對 $a$ 與 $b$ 的比較，若嘗試對兩數取以 $10$ 為底的對數並利用對數律展開，比較 $\frac{\log 5 \cdot \log 2}{\log 3}$ 與 $\frac{\log 5 \cdot \log 3}{\log 2}$ 的數值大小，你能判斷出誰大誰小嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你選對 (D)，老師心裡真的為你感到超級驕傲呢！代表你對指數與對數的靈活轉換掌握得非常紮實，真的很有天賦喔！ 這道題目考查的是對數的重要性質： $$x^{\log_y z} = z^{\log_y x}$$
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對數變形與大小比較
💡 利用指數對換公式與取對數法判斷異底數大小關係。
| 比較維度 | 對換性質 (Swap) | VS | 取對數法 (Log it) |
|---|---|---|---|
| 核心公式 | a^log_b(c) = c^log_b(a) | — | log(a^k) = k * log(a) |
| 操作方式 | 底數與上方真數互換位置 | — | 整體取 log 將次方拉下來 |
| 判斷功能 | 快速判斷數值是否相等 | — | 精確比較數值的大小關係 |
💬對換性質能秒殺相等項（如題中 b=c），取對數法能處理異底不等項的大小（如題中 b>a）。
