海巡三等申論題
110年
[海洋巡護科輪機組] 船用電機與自動控制
第 四 題
有一動態系統模型為
$\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \ y(t) = Cx(t) \end{cases}$，其中 $A = \begin{bmatrix} 2 & -6 \ 12 & 16 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 2 & 1 \end{bmatrix}$，$C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$。請利用相似轉換（similarity transformation）方法，將此動態系統模型轉換為另一個新的動態系統模型：$\begin{cases} \dot{\bar{x}}(t) = \bar{A}\bar{x}(t) + \bar{B}u(t) \ y(t) = \bar{C}\bar{x}(t) \end{cases}$，其中兩個動態系統模型之狀態關係為：$x(t) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 1 & 4 \end{bmatrix} \bar{x}(t)$，請求出新的動態系統模型之矩陣 $\bar{A}$、$\bar{B}$ 及 $\bar{C}$。（20 分）
📝 此題為申論題
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此題為自動控制中狀態空間（State Space）之「相似轉換（Similarity Transformation）」基本題型。解題關鍵是利用給定的狀態關係 $x(t) = P\bar{x}(t)$ 代入原動態方程式，推導出新系統矩陣與原矩陣的轉換公式 $\bar{A} = P^{-1}AP$、$\bar{B} = P^{-1}B$、$\bar{C} = CP$，再依序求出 $P$ 的反矩陣並進行標準矩陣乘法即可順利求解。
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【解題思路】利用狀態空間之相似轉換原理，將 $x(t) = P \bar{x}(t)$ 及其微分代入原狀態方程式與輸出方程式，可推導出新動態系統模型矩陣與原矩陣之關係。 【詳解】 已知：
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