普考申論題
111年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
四、對一訊號 y(t) = sin(20t) （t 代表時間，單位為秒，以下皆同），在時間 t_i = (π/40)i ，i 為整數，做取樣，得到的取樣值為 y_i 。（每小題 5 分，共 20 分） （一） y₀、 y₁、 y₂、 y₃ 及 y₄ 的值分別為何？ （二）可否從 y_i 還原 y(t)？為什麼？ （三）若取樣時間改為 t_i = (π/40)i + π/10 ，可否從所得到的取樣值還原 y(t)？為什麼？ （四）若取樣時間改為 t_i = (π/20)i ，可否從所得到的取樣值還原 y(t)？為什麼？
四、對一訊號 y(t) = sin(20t) （t 代表時間，單位為秒，以下皆同），在時間 t_i = (π/40)i ，i 為整數，做取樣，得到的取樣值為 y_i 。（每小題 5 分，共 20 分） （一） y₀、 y₁、 y₂、 y₃ 及 y₄ 的值分別為何？ （二）可否從 y_i 還原 y(t)？為什麼？ （三）若取樣時間改為 t_i = (π/40)i + π/10 ，可否從所得到的取樣值還原 y(t)？為什麼？ （四）若取樣時間改為 t_i = (π/20)i ，可否從所得到的取樣值還原 y(t)？為什麼？
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
y₀、 y₁、 y₂、 y₃ 及 y₄ 的值分別為何？
思路引導 VIP
直接代入法。將 t_i 的表達式代入 y(t) = sin(20t) 中，計算出各個 i 值對應的 sin 值。注意弧度計算：20 * (π/40) = π/2。
小題 (二)
可否從 y_i 還原 y(t)？為什麼？
思路引導 VIP
這題考的是「奈奎斯特取樣定理 (Nyquist Sampling Theorem)」。要還原訊號，取樣頻率 fs 必須大於訊號最高頻率 fm 的兩倍。首先算出 fm，再由取樣間隔 Ts 算出 fs，進行比較。
小題 (三)
若取樣時間改為 t_i = (π/40)i + π/10 ，可否從所得到的取樣值還原 y(t)？為什麼？
思路引導 VIP
這是在原本的取樣時間點上增加了一個「相位偏移」。取樣定理主要關注的是取樣「速率」而非起始相位。只要取樣間隔 Ts 沒變，取樣速率就沒變。
小題 (四)
若取樣時間改為 t_i = (π/20)i ，可否從所得到的取樣值還原 y(t)？為什麼？
思路引導 VIP
再次檢查取樣間隔。這次 Ts 變大了，意味著取樣頻率 fs 變小了。再次計算 fs 並與 2fm 比較。
奈奎斯特取樣定理
💡 取樣頻率需大於訊號頻率兩倍，方能避免混疊並正確還原訊號。
🔗 訊號取樣還原判定流程
- 1 識別訊號頻率 — 由 $\sin(20t)$ 得 $\omega=20$, $f=10/\pi$ Hz
- 2 計算取樣頻率 — 由 $t_i$ 間隔 $T_s$ 求出 $f_s = 1/T_s$
- 3 判定還原條件 — 檢核 $f_s > 2f$ (Nyquist Criterion)
- 4 特殊情況排除 — 確認取樣點是否非全為零（臨界頻率時）
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🔄 延伸學習：若不滿足 $f_s > 2f$，則會發生混疊現象，高頻訊號將偽裝成低頻訊號。
