高考申論題
111年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
今有一母體，其中有三個單元，各單元編號 $i$ 及其主要母體變量值 $y_i$ 如下表： | $i$ | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---| | $y_i$ | 7 | 5 | 3 | 若要從該母體中選擇 2 個單元作為樣本，在不考慮抽樣順序及可重複選擇之情形下，共有 6 種可能之樣本組合，考慮一抽樣設計為每組樣本組合 $s = (i, j)$，被選擇到之選擇機率為 $p(s) = (i+j)/24$，例如樣本組合 (2,3) 之選擇機率為 5/24，(1,1) 被選擇之機率為 2/24……等。請回答下列問題（建議以分數計算及作答）：
今有一母體，其中有三個單元，各單元編號 $i$ 及其主要母體變量值 $y_i$ 如下表： | $i$ | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---| | $y_i$ | 7 | 5 | 3 | 若要從該母體中選擇 2 個單元作為樣本，在不考慮抽樣順序及可重複選擇之情形下，共有 6 種可能之樣本組合，考慮一抽樣設計為每組樣本組合 $s = (i, j)$，被選擇到之選擇機率為 $p(s) = (i+j)/24$，例如樣本組合 (2,3) 之選擇機率為 5/24，(1,1) 被選擇之機率為 2/24……等。請回答下列問題（建議以分數計算及作答）：
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (一)
請問在本抽樣設計下，第 $i$ 個單元被選到之包含機率（Inclusion Probability）若為 $\pi_i$，則 $\pi_2$ 為何？（5 分）
思路引導 VIP
- 理解機率定義：包含機率 $\pi_i$ 是指樣本中「含有單元 $i$」的所有樣本組合機率總和。
- 列舉樣本空間：樣本組合包含 (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)。
小題 (二)
請問若以樣本平均 $\bar{y} = \frac{\sum_{i \in s} y_i}{2}$ 作為母體平均 $\mu = \frac{\sum_{i=1}^3 y_i}{3}$ 之估計量，則 $\bar{y}$ 在本設計下推估 $\mu$ 之偏誤（Bias）為何？（5 分）
思路引導 VIP
- 定義偏誤：$Bias(\bar{y}) = E[\bar{y}] - \mu$。
- 計算母體平均 $\mu$：直接根據給定 $y_i$ 計算。
小題 (三)
$\bar{y}$ 在本設計下之均方誤差（Mean square error；MSE）為何？（5 分）
思路引導 VIP
- 公式：$MSE(\bar{y}) = E[(\bar{y} - \mu)^2]$。
- 計算方法：對 6 種樣本組合，計算 $(\bar{y}_s - 5)^2$，再乘上各自機率 $p(s)$ 後加總。
小題 (四)
請就本設計提出一不偏估計量，請問您提出之估計量在樣本組合分別為（2,3）及（3,3）的情況下之估計值為何？並證明或以本母體為例驗證該估計量為不偏。（10 分）
思路引導 VIP
- 核心理論：在非等機率抽樣下，最著名的不偏估計量是「Horvitz-Thompson (HT) 估計量」。
- HT 公式：對於母體平均，$\hat{\mu}{HT} = \frac{1}{N} \sum{i \in s} \frac{y_i}{\pi_i}$（適用於無重複抽樣）。
小題 (五)
請試述您要如何評估您所提出之不偏估計與 $\bar{y}$ 在本設計下孰優孰劣？（不須計算實際數值）（5 分）
思路引導 VIP
- 評估準則：在抽樣方法中，比較兩個估計量優劣的標準通常是「均方誤差 (MSE)」或「變異數 (Variance)」以及「偏誤 (Bias)」。
- 論述邏輯：$\bar{y}$ 雖然有偏誤，但 MSE 可能較小（偏誤-變異權衡）。不偏估計量雖然 Bias=0，但若權重（機率倒數）差異過大，其變異數可能噴發。