高中學測
111年
數A
第 19 題
📖 題組：
18-20 題為題組 坐標平面上有一環狀區域由圓 $x^2+y^2=3$ 的外部與圓 $x^2+y^2=4$ 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為 1 的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之 $x$ 軸上方的某區域 $R$。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓 $C_1: x^2+y^2=3(y \ge 0)$、$C_2: x^2+y^2=4(y \ge 0)$ 上移動。開始時掃描棒黑端在點 $A(\sqrt{3},0)$，白端在 $C_2$ 的點 $B$。接著黑、白兩端各沿著 $C_1$、$C_2$ 逆時針移動，直至白端碰到 $C_2$ 的點 $B'(-2,0)$ 便停止掃描。
18-20 題為題組 坐標平面上有一環狀區域由圓 $x^2+y^2=3$ 的外部與圓 $x^2+y^2=4$ 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為 1 的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之 $x$ 軸上方的某區域 $R$。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓 $C_1: x^2+y^2=3(y \ge 0)$、$C_2: x^2+y^2=4(y \ge 0)$ 上移動。開始時掃描棒黑端在點 $A(\sqrt{3},0)$，白端在 $C_2$ 的點 $B$。接著黑、白兩端各沿著 $C_1$、$C_2$ 逆時針移動，直至白端碰到 $C_2$ 的點 $B'(-2,0)$ 便停止掃描。
令 $O$ 為原點，掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為 $A',B'$。試在答題卷上作圖區中以斜線標示掃描棒掃過的區域 $R$；並於求解區內求 $\cos\angle OA'B'$ 及點 $A'$ 的極坐標。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
當掃描棒停止時，考慮原點與掃描棒兩端所連成的三角形：試著寫下原點到黑端、原點到白端，以及棒子本身的這三條邊長度，看看這三個數字之間滿足什麼特殊的幾何關係？