高中學測
111年
數A
第 20 題
📖 題組：
18-20 題為題組 坐標平面上有一環狀區域由圓 $x^2+y^2=3$ 的外部與圓 $x^2+y^2=4$ 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為 1 的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之 $x$ 軸上方的某區域 $R$。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓 $C_1: x^2+y^2=3(y \ge 0)$、$C_2: x^2+y^2=4(y \ge 0)$ 上移動。開始時掃描棒黑端在點 $A(\sqrt{3},0)$，白端在 $C_2$ 的點 $B$。接著黑、白兩端各沿著 $C_1$、$C_2$ 逆時針移動，直至白端碰到 $C_2$ 的點 $B'(-2,0)$ 便停止掃描。
18-20 題為題組 坐標平面上有一環狀區域由圓 $x^2+y^2=3$ 的外部與圓 $x^2+y^2=4$ 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為 1 的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之 $x$ 軸上方的某區域 $R$。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓 $C_1: x^2+y^2=3(y \ge 0)$、$C_2: x^2+y^2=4(y \ge 0)$ 上移動。開始時掃描棒黑端在點 $A(\sqrt{3},0)$，白端在 $C_2$ 的點 $B$。接著黑、白兩端各沿著 $C_1$、$C_2$ 逆時針移動，直至白端碰到 $C_2$ 的點 $B'(-2,0)$ 便停止掃描。
（承 19 題）令 $\Omega$ 表示掃描棒在第一象限所掃過的區域，試分別求 $\Omega$ 與 $R$ 的面積。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
仔細看原點與掃描棒兩端所圍成的三角形，三邊長分別是 $\sqrt{3}$、1 和 2，這代表它是個什麼樣的特殊三角形？它旋轉掃過的面積能用扇形如何互相抵消？