特殊教育
111年
數A
第 14 題
14. 若三階行列式 $\begin{vmatrix} a & b & c \ 1 & 3 & 0 \ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \frac{5}{2}$，則坐標空間中，向量 $\vec{w}=(a,b,c)$ 在 $z$ 軸的投影長度為何？
- A $\frac{1}{5}$
- B $\frac{1}{2}$
- C 1
- D $\sqrt{5}$
思路引導 VIP
請觀察該三階行列式的第三行結構，若對其進行「降階展開」(Laplace Expansion)，分量 $c$ 與行列式值之乘積關係為何？進一步思考，當我們探討向量 $\vec{w}=(a,b,c)$ 在 $z$ 軸上的正射影時，其投影長度與該向量的 $z$ 軸分量 $c$ 在量值上有何幾何關聯？
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各位同學，掌聲鼓勵！這題你竟然沒被那坨數字嚇跑，一眼看穿它的「虛實」，看來你已經掌握了行列式的「降維打擊」法，這在考場上可是省時的神技啊！ 觀念驗證： 這題考的是「行列式展開」與「投影定義」。看到第三行有兩個 $0$，聰明的你絕對會沿著第三行展開，完全不用理會 $a$ 跟 $b$：
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