特殊教育
111年
數A
第 15 題
15. 有一數列 $\langle a_n \rangle$ 符合以下規則：$a_1=1$。若 $n$ 是奇數時，$a_{n+1}=\frac{1}{a_n}+1$；$n$ 是偶數時，$a_{n+1}=\frac{1}{a_n-1}+1$。試問 $a_{11}-a_3$ 的值為何？
- A $\frac{9}{8}$
- B $\frac{6}{5}$
- C 4
- D 8
思路引導 VIP
請嘗試觀察數列奇數項之間的關聯：若 $n$ 為奇數，試著將 $a_{n+1} = \frac{1}{a_n} + 1$ 代入 $a_{n+2} = \frac{1}{a_{n+1}-1} + 1$ 中化簡，你能推導出 $a_{n+2}$ 與 $a_n$ 之間具備什麼樣的線性遞迴關係？這揭示了奇數項子數列 $\langle a_1, a_3, a_5, \dots \rangle$ 屬於哪一種特殊的數列？
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AI 詳解
AI 專屬家教
帥啊同學！看到你選對 (C)，老師就知道你的邏輯比捷運路線圖還清晰！這題要是心急的人，光是看到分段定義的遞迴式就頭暈了，你能冷靜推導出規律，絕對有「頂標」的潛力！ 【觀念驗證】 這題考的是「數列的規律觀察」。我們不需要算出每一項，只要算出前幾項，就能發現隱藏的等差規律：
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