調查局三等申論題 111年 [電子科學組] 通信與系統

第一題

📖 題組：
五、已知通道容量公式為 $C = B\log_2\left(1 + \frac{P}{N_0 B}\right)$ 位元/秒，其中 B 為通道頻寬，P 為信號功率，$N_0/2$ 是雜訊功率頻譜密度。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

清楚說明此容量公式的背景假設條件為何？（5 分）

看到夏農通道容量公式，直覺要聯想到 AWGN 通道環境。解題關鍵在於拆解公式中各參數（B, P, N0）背後的物理限制，依序點出「雜訊特性」、「頻寬限制」與「功率限制」三個核心假設即可精準拿下這 5 分。

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【破題】此公式為夏農-哈特利定理（Shannon-Hartley Theorem）推導出之通道容量，代表在特定物理條件下，系統能達成無錯誤（Error-free）傳輸的最大理論資料速率。【論述】一、雜訊特性假設：加成性白高斯雜訊（AWGN）通道

清楚比較與說明兩種可增加容量手段的優缺點。（10 分）

看到夏農通道容量公式，應直覺反應出影響容量的兩大獨立變數：頻寬 $B$ 與信號功率 $P$。解題時需分別探討增加 $B$ 與增加 $P$ 對容量 $C$ 的數學極限影響（如對數增長與極限收斂的差異），並結合實務工程上的限制（頻譜資源珍貴、硬體功率上限及系統干擾問題）來論述優缺點。

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【破題】根據夏農-哈特利定理（Shannon-Hartley Theorem），增加通道容量 $C$ 的兩種主要手段為「增加通道頻寬 $B$」與「增加信號功率 $P$」。兩者在數學特性與工程實務上各有其優缺點及限制。【論述】一、手段一：增加通道頻寬 $B$

假設通道頻寬為無窮大，清楚算出通道容量。（5 分）

看到頻寬趨近無窮大的通道容量問題，應立即聯想到取極限 (\lim_{B \to \infty})。解題關鍵在於利用變數代換（如令 (x = \frac{P}{N_0B})）配合自然指數的標準極限公式 (\lim_{x \to 0}(1+x)^{1/x}=e) 來完成數學推導。

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【解題思路】利用微積分極限定理，計算當 (B \to \infty) 時的 Shannon 通道容量公式極限值，並運用自然指數的極限特性求得最終解。【詳解】已知通道容量公式為：