調查局三等申論題 110年 [電子科學組] 通信與系統

第一題

📖 題組：
六、假設有兩個二元對稱通道（Binary Symmetric Channel, BSC），如下圖所示： (Channel 1 交叉機率 0.1，Channel 2 交叉機率 0.25)

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

請計算 Channel 1 以及 Channel 2 的通道容量（Channel Capacity）為何？（5 分）

看到二元對稱通道（BSC）求通道容量，應立即聯想到公式 $C = 1 - H(p)$，其中 $H(p)$ 為二元熵函數。從系統圖中識別出兩通道的交叉機率（crossover probability）$p$ 分別為 $0.1$ 與 $0.25$，代入公式計算即可求得。

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【解題關鍵】二元對稱通道（BSC）的通道容量公式為 $C = \max_{P(x)} I(X;Y) = 1 - H(p)$，其中 $p$ 為交叉機率，$H(p) = -p \log_2 p - (1-p) \log_2 (1-p)$ 為二元熵函數。【解答】計算：

將 Channel 1 以及 Channel 2 串接（Cascade），請計算串接後該通道的容量為何？（5 分）

看到兩個二元對稱通道（BSC）串接，首先利用「全機率定理」求出等效單一 BSC 的交叉機率（即總共發生奇數次錯誤的機率）。接著，代入 BSC 的通道容量公式 C = 1 - H(p) 即可求得最終結果。

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【解題思路】利用全機率定理求出串接後等效 BSC 的交叉機率，再代入 BSC 通道容量公式。【詳解】已知：

比較(一)與(二)的結果，請說明兩個二元對稱通道串接後的通道容量是否等於個別之通道容量的總和？請做合理的解釋。（5 分）

本題測驗資訊理論中的核心觀念。考生應立即聯想到「資訊處理不等式 (Data Processing Inequality)」及「串接二元對稱通道 (BSC) 的等效錯誤率」，指出通道串接會導致錯誤率上升、資訊量流失，因此總容量必定小於單一通道的容量，絕不可能等於總和。

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【破題】不等於。兩個二元對稱通道（BSC）串接後的通道容量，不僅不等於個別通道容量的總和，反而必定小於或等於任一個別通道的容量。【論述】一、資訊理論觀點（資訊處理不等式）