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普考申論題 112年 [電力工程] 電子學概要

第 一 題

📖 題組：
圖 1(a)所示為使用複數阻抗（Z1與 Z2）的理想運算放大器電路。（每小題 5 分，共 20 分）
題組圖片
📝 此題為申論題，共 4 小題

小題 (一)

利用克希荷夫電流定律（KCL）與理想運算放大器的虛接地（Virtual GND）性質，計算電壓增益 Vout/Vin。

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看到這類理想 OP 電路題，首先利用「虛接地（Virtual Ground）」特性確立反相輸入端電壓為零，接著在該節點應用「克希荷夫電流定律（KCL）」。由於理想 OP 輸入阻抗無限大、輸入電流為零，流過輸入阻抗的電流必等於流過回授阻抗的電流，藉此即可輕鬆推導出電壓增益。

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【解題思路】利用理想運算放大器的「虛接地」特性與輸入端節點的克希荷夫電流定律（KCL）進行推導。 【詳解】 已知：

小題 (二)

利用圖 1(a)所示電路，使用被動元件（電阻 R 與電容 C）代替複數阻抗，設計微分器電路。

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看到使用運算放大器構成的阻抗回授電路，應先利用理想OP的「虛短路」與「虛接地」特性，由輸入節點列出KCL方程式，推導出通用的轉移函數。接著回想「微分器」的數學定義（輸出與輸入的微分成正比），將其轉換為頻域關係式後，比對轉移函數即可得出Z1與Z2對應的被動元件種類。

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【解題思路】利用理想運算放大器虛擬短路與虛擬接地的特性推導反相放大器轉移函數，並對比微分器的數學關係式，以決定阻抗元件配置。 【詳解】 已知：理想運算放大器具有無限大輸入阻抗（輸入端不流進電流，即 $I_- = I_+ = 0$）與虛擬短路特性（$V_- = V_+$）。

小題 (三)

計算所設計微分器電路的時域（Time Domain）輸出電壓函數 Vout(t)。

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  1. 看到題目指明為「微分器」，應立刻聯想其時域輸出公式 $V_{out}(t) = -RC \frac{dV_{in}(t)}{dt}$。
  2. 分析圖1(b)輸入信號，三角波的分段線性特徵代表其電壓變化率（即斜率）為常數，故其導數為方波形式。
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【解題思路】利用理想微分器時域公式，計算輸入波形各區段的斜率（導數），並乘上時間常數得到方波輸出。 【詳解】 已知：本題為題組題（110年普考），依據前一小題「所設計」之條件，微分器輸入端阻抗 $Z_2$ 為電容 $C$，$回授端阻抗 Z_1$ 為電阻 $R$。前小題設計條件為：信號頻率 $f=1\text{ kHz}$ 時轉移函數大小 $|H(j2\pi f)| = 2\pi f RC = 1$，據此求得時間常數 $RC = \frac{1}{2000\pi}\text{ s}$。

小題 (四)

若輸入電壓 Vin(t)波形如圖 1(b)所示，而所使用的 R 與 C 值分別為 2.5 kΩ 與 1 nF，繪製輸出電壓 Vout(t)波形。

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  1. 辨識題型與設定：此題為111年高考三級電子學題組，前一小題已指定此為「反相積分器」（即 Z1=C, Z2=R）。
  2. 確定核心公式：列出積分器時域關係式 Vout(t) = -1/(RC) ∫ Vin(t) dt。
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【解題關鍵】本題依原題組設定為反相積分器（$Z_1 = C$, $Z_2 = R$），輸出波形為輸入波形之反相積分：$V_{out}(t) = -\frac{1}{RC} \int V_{in}(t) dt$。 【解答】 計算：

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