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高考申論題 112年 [工業工程] 工程經濟學

第 一 題

📖 題組：
X 公司準備向銀行借款 10,000,000 元以更換舊生產線。借款期為 5 年，每半年償還銀行相同的金額，共分 10 次償還。現有 A，B，C 三家銀行各提供不同的借款利率條件，分別為 A 銀行：每年名義利率 10%，每半年複利一次；B 銀行：每半年名義利率 5%，每季複利一次；C 銀行：每年名義利率 8%，每月複利一次。請詳細列計算式回答以下問題： (一) 請分別求算 A，B，C 三家銀行每半年的實際利率分別為多少（答案請以小數表示，求至小數點後六位）？（10 分） (二) 請分別求算 A，B，C 這三家銀行所提供的借款利率條件下，X 公司每半年償還的金額分別為多少元？（10 分） (三) X 公司應向那一家銀行借款以使 5 年償還的總金額最低？該決策可較 5 年償還的總金額次高者節省多少元？（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

請分別求算 A，B，C 三家銀行每半年的實際利率分別為多少（答案請以小數表示，求至小數點後六位）？（10 分）

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本題測驗「名目利率（Nominal Interest Rate）」與「有效利率（Effective Interest Rate）」之轉換。解題核心在於釐清「計息週期」與「要求週期（本題為半年）」的關係，先找出每一計息週期的利率後，再依據半年內包含的計息期數代入有效利率公式進行複利推算。

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【解題關鍵】有效利率（實際利率）推導公式為：$i_{eff} = (1 + i_c)^n - 1$，其中 $i_c$ 為單一計息週期之利率，$n$ 為目標期間（本題為半年）內所包含的計息期數。 【解答】 計算：

小題 (二)

請分別求算 A，B，C 這三家銀行所提供的借款利率條件下，X 公司每半年償還的金額分別為多少元？（10 分）

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本題測驗「資本回收係數（A/P, i, n）」之應用。解題時必須先確認各銀行的「每半年實質利率（i）」與「總還款期數（n）」，再代入等額分期付款公式求得每期應還金額，計算過程中需注意小數點精確度以避免進位誤差。

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【解題關鍵】使用資金回歸係數（A/P, i, n）將現值（P）轉換為等額年金（A），公式為 $A = P \times \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$，其中 i 為每半年的實質利率，n 為總還款期數。 【解答】 已知條件整理：

小題 (三)

X 公司應向那一家銀行借款以使 5 年償還的總金額最低？該決策可較 5 年償還的總金額次高者節省多少元？（5 分）

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考生看到此題應先透過資金還本公式（A/P, i, n）計算出三家銀行各自的每期償還金額，再乘上總期數（n=10）求得總償還金額。接著將三者的總額進行排序，選出最低者作為借款對象，並與「次高者（第二高）」相減求出節省差額。

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【解題關鍵】利用資金回收公式 $A = P \times (A/P, i, n)$ 求出各銀行每半年償還金，再乘以總期數求得總金額並進行比較。 【解答】 計算：Step 1→2→3 逐步推導

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