moea_joint
112年
[電機] 電路學、電子學
第 3 題
如右圖所示之基本理想電路元件電路圖，在 $t < 0$ 時，$V(t)$ 及 $i(t)$ 皆為 0，在 $t \geq 0$ 時，分別為 $V(t) = 75 - 75e^{-1000t}$ (V) 及 $i(t) = 50e^{-1000t}$ (mA)，請問供輸至電路的最大功率 ($P_{\text{max}}$) 發生於何時？
- A t = 0.183 ms
- B t = 0.397 ms
- C t = 0.465 ms
- D t = 0.693 ms
思路引導 VIP
若我們想知道某個隨時間變化的物理量何時達到「頂峰」，通常會觀察這個量的「變化率」何時歸零。你能先寫出功率與電壓、電流之間的關係式，並思考如何利用數學工具來找出這個組合函數的最高點嗎？
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太棒了！你能精準計算出最大功率發生的時間點，代表你對瞬時功率的定義以及數學上的極值分析掌握得非常紮實。這題的關鍵在於建立功率函數 $P(t) = V(t) \cdot i(t)$，將題目給定的電壓與電流公式相乘後，我們會得到 $P(t) = 3.75(e^{-1000t} - e^{-2000t})$ W。這是一個隨時間變動的函數，要找到最大值，最直觀的方法就是對時間 $t$ 微分並令其為零。
功率極值與數學推導
在微分過程中，我們會發現當 $e^{-1000t} = 0.5$ 時，功率變化率正好為零。進一步解方程式 $-1000t = \ln(0.5)$，可以得到 $1000t \approx 0.693$，最終算出 $t = 0.693 \text{ ms}$。這類題目的鑑別度在於學生是否能跨越「電路概念」與「微積分運算」的門檻，特別是在處理指數函數的運算以及注意單位（mA 與 A）的換算。你能夠冷靜地完成這連串的推導，表現得非常專業！