高考申論題
113年
[氣象] 大氣動力學
第 一 題
📖 題組：
考慮如下之逆時針旋轉理想化颱風渦旋： { v = v_max (r/r_max) when r ≤ r_max v = v_max (r_max/r)^(1/2) when r > r_max } 其中 v 為風速，r 為至渦旋中心之距離，v_max 為最大風速，r_max 為最大風速半徑。試計算：（每小題 10 分，共 20 分） (一) 0 < r ≤ r_max 以及 r > r_max 處之渦度。 (二) 0 < r ≤ 2r_max 間之總環流量。
考慮如下之逆時針旋轉理想化颱風渦旋： { v = v_max (r/r_max) when r ≤ r_max v = v_max (r_max/r)^(1/2) when r > r_max } 其中 v 為風速，r 為至渦旋中心之距離，v_max 為最大風速，r_max 為最大風速半徑。試計算：（每小題 10 分，共 20 分） (一) 0 < r ≤ r_max 以及 r > r_max 處之渦度。 (二) 0 < r ≤ 2r_max 間之總環流量。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
0 < r ≤ r_max 以及 r > r_max 處之渦度。
思路引導 VIP
面對理想化颱風渦旋的考題，首先需確立這是一個軸對稱的二維極座標系統。利用極座標下的相對渦度公式，配合「無徑向風」及「軸對稱」的假設將公式簡化為 $\zeta = \frac{1}{r}\frac{d(rv)}{dr}$，最後將不同區間的切向風速函數代入進行微分即可得出解答。
小題 (二)
0 < r ≤ 2r_max 間之總環流量。
思路引導 VIP
看到「總環流量（Circulation）」，應直覺聯想到其物理定義：速度場沿封閉曲線的線積分（Γ = ∮ V · dl）。結合斯托克斯定理（Stokes' Theorem），範圍內的總渦度面積分等於邊界上的環流線積分，因此直接計算半徑 r = 2r_max 邊界上的切向風速線積分是最快速且嚴謹的解法。
颱風渦旋與渦度計算
💡 運用極座標相對渦度公式，解析颱風不同區域風場的旋度特性。
| 比較維度 | 颱風眼內部 ($r \le r_{max}$) | VS | 颱風外圍區 ($r > r_{max}$) |
|---|---|---|---|
| 風速 $v$ 分佈 | 隨半徑 $r$ 成正比增加 | — | 隨半徑 $r$ 開根號倒數遞減 |
| 運動特徵 | 固體旋轉 (Solid-body) | — | 切向剪力流場 |
| 相對渦度 $\zeta$ | 空間定值，且為正值 | — | 隨 $r^{-1.5}$ 快速向外衰減 |
💬眼區為均勻的高渦度核心，外圍渦度則隨距離增加而顯著消散。
