第 一 題

看到本題要求「用庫侖定律」，首先要辨識出這是連續電荷分佈的電場計算題。接著應該從庫侖定律的微小電荷形式 $d\vec{E} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_0 R^2}\hat{a}_R$ 切入。解題順序上，必須先建立座標系並定出源點與觀察點的座標，寫出距離向量 $\vec{R}$。再將線電荷密度轉換為微小電荷 $dq = \rho dz$。進行積分時，要敏銳觀察到無限長均勻分佈在 $z$ 軸上下具有對稱性，可推導出 $z$ 分量將互相抵銷。最後利用三角代換法完成 $x$ 方向的定積分。

看到本題要求「用高斯定律」，首先要辨識出考點在於如何選擇合適的高斯面（Gaussian Surface）以簡化面積分。接著應該從空間對稱性切入，說明無窮長均勻線電荷產生的電場必為徑向（僅依賴徑向距離），因此應選擇一個與 $z$ 軸同軸的圓柱體作為高斯面。接著寫出高斯定律公式，論述圓柱體上下底的電場通量為零，只剩下側面積分。最後代入半徑，即可快速求出電場大小與方向。