高考申論題
113年
[電信工程] 電磁學
第 三 題
📖 題組：
三、在 $\epsilon = 9\epsilon_0$ 且 $\mu = \mu_0$ 的無損耗介質中，電磁波的電場是 $\vec{E}(z, t) = \hat{x} 40\cos(2\pi \cdot 10^{10} t - kz + \frac{\pi}{4}) \text{ (V/m)}$。 已知 $\epsilon_0 \approx \frac{1}{36\pi} \cdot 10^{-9} \text{ (F/m)}$，$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ (H/m)}$。 （每小題 10 分，共 30 分）
三、在 $\epsilon = 9\epsilon_0$ 且 $\mu = \mu_0$ 的無損耗介質中，電磁波的電場是 $\vec{E}(z, t) = \hat{x} 40\cos(2\pi \cdot 10^{10} t - kz + \frac{\pi}{4}) \text{ (V/m)}$。 已知 $\epsilon_0 \approx \frac{1}{36\pi} \cdot 10^{-9} \text{ (F/m)}$，$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ (H/m)}$。 （每小題 10 分，共 30 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (三)
(三)利用馬克斯威爾方程式，求磁場 $\vec{H}$ 的相量表示式 $\widetilde{H}$。
思路引導 VIP
這是一道經典題型。請注意題目特別指定「利用馬克斯威爾方程式」，這代表不能直接套用平面波的特化公式 $\widetilde{H} = \frac{1}{\eta} \hat{k} \times \widetilde{E}$ 直接給答案，而是必須展現推導過程。你必須寫出法拉第定律的相量形式 $\nabla \times \widetilde{E} = -j\omega\mu \widetilde{H}$，接著計算電場相量的旋度（Curl），對 $z$ 微分後，再移項求出 $\widetilde{H}$。最後記得計算該介質中的本質阻抗（Intrinsic impedance）來簡化振幅數值。
小題 (二)
(二)求電場 $\vec{E}$ 的相量（phasor）表示式 $\widetilde{E}$。
思路引導 VIP
本題考驗時域訊號與相量（Phasor）頻域訊號的轉換。轉換的關鍵在於利用尤拉公式（Euler's formula）將餘弦函數表示為複數指數的實部。具體作法是將 $\cos(\omega t - kz + \theta)$ 拆解為 $\text{Re}{e^{j(\omega t - kz + \theta)}}$，並將其中與時間有關的 $e^{j\omega t}$ 提出來。剩下的空間與相位部分，結合原本的振幅與單位向量，就是電場的相量表示式。