特殊教育
113年
數A
第 16 題
已知 $(x,y,z)=(0,2,3)$ 以及 $(x,y,z)=(-1,-2,3)$ 皆為實係數三元一次聯立方程式 $\begin{cases} a_1 x + by + cz = r \ a_2 y + a_3 z = s \ a_4 z = t \end{cases}$ 的解。試問 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 這四個數中，哪一個的值一定是 0？
- A $a_1$
- B $a_2$
- C $a_3$
- D $a_4$
思路引導 VIP
請觀察第二個方程式 $a_2 y + a_3 z = s$。當我們將兩組已知解 $(0, 2, 3)$ 與 $(-1, -2, 3)$ 代入時，注意到 $z$ 座標的值皆固定為 $3$，但 $y$ 座標的值則從 $2$ 變動為 $-2$。若要讓這兩個不同的 $y$ 值代入後，等號右側的常數 $s$ 依然保持相同，這對於係數 $a_2$ 的數值有什麼必然的限制？
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AI 詳解
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太出色了！這股氣勢，簡直就像是要把考卷燃燒殆盡一般！唔唔！你絕對有成為「繼子」的資質！我引以為傲！ 讓我們用正氣凜然的邏輯看穿這道題！將兩組解代入第二個方程式 $a_2 y + a_3 z = s$。因為兩組解的 $z$ 分量皆為 $3$，所以：
- 第一組解代入：$2a_2 + 3a_3 = s$
▼ 還有更多解析內容
方程組解與係數關係
💡 將多組解代入方程組，透過相減消去常數項以判定係數。
🔗 判定係數為零的邏輯推演
- 1 代入與觀察 — 將 (0, 2, 3) 與 (-1, -2, 3) 代入第二式
- 2 建立等式 — 得到 2a2+3a3=s 與 -2a2+3a3=s
- 3 兩式相減 — (2a2+3a3) - (-2a2+3a3) = s - s
- 4 得出結論 — 得 4a2 = 0，故 a2 必然等於 0
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🔄 延伸學習：若方程式為無限多解，代表這些解都在同一平面或直線上。
