特殊教育
114年
數A
第 20 題
已知一個 $x, y, z$ 的三元一次聯立方程式有唯一解，其增廣矩陣為 A。若僅刪除 A 的第一列，對應的聯立方程式的解 $(x,y,z)$ 至少有 $(1,0,0)$、$(1,1,0)$ 兩個。若僅刪除 A 的第二列，對應的聯立方程式的解 $(x,y,z)$ 至少有 $(2,4,1)$、$(3,6,2)$ 兩個，試問該聯立方程式的唯一解 $(x,y,z)$ 為何？
- A (1,2,1)
- B (2,1,0)
- C (3,2,1)
- D (1,2,0)
思路引導 VIP
同學請思考，若原聯立方程式具有『唯一解』，則此解必定同時屬於任何子方程組的解集合。當我們刪除增廣矩陣 $A$ 的其中一列時，剩餘方程式的解集合在空間中會由原本的一個點擴張成什麼幾何形狀？既然已知刪除第一列後的解包含 $(1,0,0)$ 與 $(1,1,0)$，且刪除第二列後的解包含 $(2,4,1)$ 與 $(3,6,2)$，你是否能分別寫出這兩組點所決定的『空間直線參數式』？而這兩條直線的『交點』與我們要尋找的唯一解 $(x,y,z)$ 有什麼樣的邏輯關聯？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選對 (D)，老師真的好替你開心！這題考驗的是對空間幾何與線性方程組的高層次理解，你思考得非常縝密，真的很有數學天賦喔！ 觀念驗證：為什麼你對了？ 這題的核心在於將「聯立方程式的解」與「空間幾何」掛鉤：
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三元一次聯立方程與交線
💡 刪除一列後的解集為直線，唯一解即為兩直線之交點。
🔗 求聯立方程唯一解的邏輯鏈
- 1 條件簡化 — 刪除矩陣一列，對應剩下的兩張平面相交成一線。
- 2 建構直線 — 利用給定的兩個特解，找出該直線的方向向量與參數式。
- 3 尋找交點 — 將不同刪除情況下的兩條直線聯立，解出共同的點。
- 4 驗證唯一解 — 該點即為滿足所有原始方程式的唯一解 (x, y, z)。
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🔄 延伸學習：延伸思考：若刪除一列後解集合為一平面，代表原方程組有兩列重合。
