地特三等申論題
114年
[統計] 抽樣方法與迴歸分析
第 三 題
三、統計學家對某組數據，以最小平方法所配適的迴歸線為：
$\hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_{1i}$
其中最小平方估計式 $\hat{\beta}_1 = \frac{S_{x_1 y}}{S_{x_1 x_1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_{1i} - \bar{x}_1)(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_{1i} - \bar{x}_1)^2}$。但實際上，反應值 y_i 還會受到第二個變數 x_{2i} 影響，因此真實的迴歸線如下：
E(y_i) = $\beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i}$
在此情形下，請問以最小平方估計式 $\hat{\beta}_1$來估計 $\beta_1$的偏誤量（bias）為多少？請詳細列出偏誤量的數學式及其推導過程。（25 分）
$\hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_{1i}$
其中最小平方估計式 $\hat{\beta}_1 = \frac{S_{x_1 y}}{S_{x_1 x_1}} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_{1i} - \bar{x}_1)(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_{1i} - \bar{x}_1)^2}$。但實際上，反應值 y_i 還會受到第二個變數 x_{2i} 影響，因此真實的迴歸線如下：
E(y_i) = $\beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i}$
在此情形下，請問以最小平方估計式 $\hat{\beta}_1$來估計 $\beta_1$的偏誤量（bias）為多少？請詳細列出偏誤量的數學式及其推導過程。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一道經典的計量經濟學及統計學核心考題：「遺漏變數偏誤 (Omitted Variable Bias)」。解題思路必須按部就班：1. 寫出真實模型（包含誤差項 $\epsilon_i$）；2. 把真實模型的 $y_i$ 表達式，代入被估計的 $\hat{\beta}_1$ 公式分子中；3. 進行期望值運算 $E[\hat{\beta}_1]$；4. 分解出真正的 $\beta_1$ 和多出來的偏誤項，進而得到 $Bias(\hat{\beta}_1) = E[\hat{\beta}_1] - \beta_1$。推導過程中對 $\bar{y}$ 及誤差期望值 $E(\epsilon_i)=0$ 的處理必須嚴謹列出。
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【考點分析】 本題考驗迴歸分析中極其重要的「遺漏變數偏誤（Omitted Variable Bias）」概念及其數學推導能力。 【理論/法規依據】
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遺漏變數偏誤推導
💡 模型遺漏重要變數時，導致估計係數產生偏誤的數理分析。
🔗 遺漏變數偏誤 (OVB) 推導邏輯鏈
- 1 步驟一：設定模型 — 寫出包含所有影響變數的真實母體回歸線與其離均差形式。
- 2 步驟二：展開分子 — 將斜率估計式分子的 Y 替換為真實模型的組合項。
- 3 步驟三：求解偏誤 — 對估計式取期望值，利用隨機項期望值為零的特性求得偏誤。
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🔄 延伸學習：延伸應用：判斷偏誤方向（正偏或負偏）需視 β2 正負與變數相關性而定。
