地特三等申論題
114年
[統計] 抽樣方法與迴歸分析
第 二 題
📖 題組：
四、簡單線性迴歸模型如下： Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i, i=1,\cdots,n 其中 \epsilon_i 為 iid 且服從 N(0, \sigma^2)。今某高中老師收集 12 位學生的英文成績（X）及數學成績（Y）如下： X：65, 63, 68, 65, 66, 65, 68, 67, 72, 67, 70, 63 Y：63, 65, 71, 64, 68, 63, 65, 66, 70, 68, 69, 67
四、簡單線性迴歸模型如下： Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i, i=1,\cdots,n 其中 \epsilon_i 為 iid 且服從 N(0, \sigma^2)。今某高中老師收集 12 位學生的英文成績（X）及數學成績（Y）如下： X：65, 63, 68, 65, 66, 65, 68, 67, 72, 67, 70, 63 Y：63, 65, 71, 64, 68, 63, 65, 66, 70, 68, 69, 67
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
(二)以所配適的模型，預測當學生英文成績為 69 時，數學成績為何？（5 分）
思路引導 VIP
直接將 $X=69$ 代入前一小題求得的預測方程式 $\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$ 即可。這是一道送分題，考驗前題結果的直接運用。
小題 (一)
(一)請以此資料配適簡單線性迴歸模型。（10 分）
思路引導 VIP
這是一般簡單線性迴歸的基礎配適題，重點是耐心地計算各項交叉乘積和與離差平方和。首先求出 $\bar{X}$ 與 $\bar{Y}$；接著算出 $S_{xx}, S_{yy}, S_{xy}$ 三個統計量；最後代入 $\hat{\beta}1 = S{xy}/S_{xx}$ 與 $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$，寫出模型 $\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$ 即可。
小題 (三)
(三)請以 $\alpha = 0.05$，進行雙尾檢定 H_0: $\beta_1 = 0$，H_1: $\beta_1 \neq 0$。請寫出詳細檢定過程與結果（註：t_{10,0.025} = 2.2281；t_{11,0.025} = 2.2010；t_{12,0.025} = 2.1788）。（10 分）
思路引導 VIP
這題要求進行斜率顯著性檢定。必須依序寫出假設、計算檢定統計量（t值）、決定臨界值，最後做出結論。計算 t 值需要先算誤差變異 $MSE = SSE / (n-2)$，其中 $SSE = S_{yy} - \hat{\beta}1 S{xy}$。算出後求標準誤 $SE(\hat{\beta}1) = \sqrt{MSE / S{xx}}$，進而計算檢定統計量 $t = \hat{\beta}_1 / SE(\hat{\beta}_1)$。最後與臨界值比較。