地特三等申論題
114年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
給定系統之輸入與輸出訊號關係如下，回答下列問題： $y(t) = \int_{t-2}^{t+2} x(\tau)d\tau$
給定系統之輸入與輸出訊號關係如下，回答下列問題： $y(t) = \int_{t-2}^{t+2} x(\tau)d\tau$
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請問此系統是否為線性（linear）及非時變（Time-Invariant）？請詳述或證明之。（10 分）
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出這是連續時間系統基本特性的證明題。判斷線性必須驗證「疊加原理（Superposition）」，即齊次性與可加性。判斷非時變則要驗證輸入訊號延遲 $t_0$ 時，輸出是否也相應延遲 $t_0$。在推導過程中，利用變數代換法（let $\lambda = \tau - t_0$）來處理積分的上下限與變數，是拿分的關鍵。
小題 (二)
若$x(t) = u(t+3) - u(t-3)$，其中$u(t)$為單位步階函數（unit step function），計算輸出訊號 y(t)之傅立葉轉換。（10 分）
思路引導 VIP
看到這題，直覺會想在時域算出卷積後再轉頻域。但更好的解法是利用線性非時變（LTI）系統的特性：時域卷積等同頻域相乘。首先從 $y(t)$ 定義中找出系統的脈衝響應 $h(t)$（即一個寬度為 4 的矩形波），接著分別求出 $h(t)$ 和輸入 $x(t)$（寬度為 6 的矩形波）的傅立葉轉換，兩者相乘即可得到 $Y(f)$。