高考申論題
114年
[土木工程] 材料力學與結構學
第 一 題
📖 題組：
如圖所示，一外伸簡支梁 ABC，A 端為鉸支承，B 端為滾支承，C 端為自由端。梁段 AB 與 BC 之長度分別為5 m與3 m，撓曲剛度為常數 EI。全梁受均佈載重q = 8 kN/m作用。試以共軛梁法（Conjugate Beam Method）求出： (一)鉸支承 A 端之傾角。（10 分） (二)自由端 C 之垂直位移。（15 分）
如圖所示，一外伸簡支梁 ABC，A 端為鉸支承，B 端為滾支承，C 端為自由端。梁段 AB 與 BC 之長度分別為5 m與3 m，撓曲剛度為常數 EI。全梁受均佈載重q = 8 kN/m作用。試以共軛梁法（Conjugate Beam Method）求出： (一)鉸支承 A 端之傾角。（10 分） (二)自由端 C 之垂直位移。（15 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
鉸支承 A 端之傾角。（10 分）
思路引導 VIP
看到求變位或傾角的題目且指定『共軛梁法』，第一步應先解出真實梁的支承反力與彎矩分佈。接著將支承條件進行共軛轉換（端鉸支承不變、內部滾支承變為內部鉸），並將 $M/EI$ 視為載重施加於共軛梁上。最後，利用共軛梁的靜力平衡（如對內部鉸取力矩）求出 A 端之剪力，即為真實梁 A 端之傾角。
小題 (二)
自由端 C 之垂直位移。（15 分）
思路引導 VIP
本題要求外伸梁自由端的垂直位移，最適合的方法為「共軛梁法（Conjugate Beam Method）」。解題時，考生應先求出真實梁的彎矩函數 $M(x)$，接著將支承條件轉換為共軛梁（自由端變固定端、滾支承變內部鉸），並以 $M/EI$ 作為虛擬載重。最終，計算共軛梁固定端 C' 的彎矩值，該數值即為真實梁 C 點的垂直位移。
共軛梁法求變位
💡 將真實梁之 M/EI 圖作為載重施加於共軛梁，求剪力與彎矩即得變位。
| 比較維度 | 真實梁 (Real Beam) | VS | 共軛梁 (Conjugate Beam) |
|---|---|---|---|
| 物理量對應 | 轉角 θ 與位移 Δ | — | 剪力 V' 與彎矩 M' |
| 固定端 | θ = 0, Δ = 0 | — | 自由端 (V'=0, M'=0) |
| 自由端 | θ ≠ 0, Δ ≠ 0 | — | 固定端 (有 V', M') |
| 端點鉸/滾支承 | θ ≠ 0, Δ = 0 | — | 不變 (有 V', M'=0) |
| 中間支承 | 連續 θ, Δ = 0 | — | 內部鉸 (連續 M', 有 V') |
💬共軛梁法將幾何變位問題轉化為靜力平衡問題，關鍵在於正確轉換支承。
