高考申論題
114年
[工業工程] 作業研究
第 四 題
📖 題組：
某公司考慮 A, B, C, D 四個擴張方案，這四個方案預期的每年收益主要取決於未來的產業景氣。若產業景氣分成衰退、持平、復甦三種，產業景氣現在完全無法預估。表二為 A, B, C, D 四個方案在各種產業景氣的預期年收益（單位：億元）。（每小題 5 分，共 20 分） 表二（衰退, 持平, 復甦）： A: 120, 70, -40 B: 80, 90, 5 C: 90, 100, -10 D: 60, 55, 50
某公司考慮 A, B, C, D 四個擴張方案，這四個方案預期的每年收益主要取決於未來的產業景氣。若產業景氣分成衰退、持平、復甦三種，產業景氣現在完全無法預估。表二為 A, B, C, D 四個方案在各種產業景氣的預期年收益（單位：億元）。（每小題 5 分，共 20 分） 表二（衰退, 持平, 復甦）： A: 120, 70, -40 B: 80, 90, 5 C: 90, 100, -10 D: 60, 55, 50
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (四)
請求算 A, B, C, D 四個方案分別適用於樂觀指數各為多少的範圍？
思路引導 VIP
本題測驗不確定環境下的決策方法：赫威茲準則（Hurwicz Criterion）。解題關鍵在於先找出各方案的最大與最小收益，建立以樂觀指數 α 為變數的預期收益直線方程式，再透過求解直線的交點與比較區間大小，找出各方案預期收益最大的適用範圍。
小題 (一)
求他最終贏的機率。（10 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先釐清「單次」擲骰的狀態空間，計算出單次「贏」、「輸」與「繼續」的機率。接著，利用吸收馬可夫鏈的性質或是無窮等比級數，算出在不斷重擲的條件下，最終落在「贏」這個吸收態的收斂機率。
小題 (二)
求 X 的動差母函數（Moment Generating Function），即 $M(t)=E[e^{tX}]$。（10 分）
思路引導 VIP
本題的核心在於辨別機率模型。首先須計算單次擲骰遊戲「結束（贏或輸）」的機率，藉此判斷遊戲結束所需的次數 $X$ 屬於「幾何分佈（Geometric distribution）」。確立分配後，利用期望值定義 $E[e^{tX}]$ 並透過無窮等比級數公式求和，即可得出動差母函數。
小題 (三)
求 X 的期望值 E[X]。（5 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先盤點各特定點數和出現的機率，並將「贏」與「輸」合併視為「遊戲結束」的成功事件。接著，敏銳地識別出此為重複獨立試驗直到第一次成功為止的隨機過程，故隨機變數 X 服從幾何分配（Geometric Distribution），直接套用期望值公式 E[X]=1/p 即可精確得分。
赫威茲決策準則分析
💡 運用樂觀係數在不確定環境下，權衡極大與極小收益的決策法。
🔗 赫威茲準則解題標準程序
- 1 提取極值 — 從損益表中找出各方案的最大與最小收益值
- 2 建立函數 — 列出各方案之 H(α) 線性方程式
- 3 求解交點 — 令方程式相等，求出臨界樂觀指數 α
- 4 區間判定 — 依據 α 區間找出收益函數值最大的優勢方案
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🔄 延伸學習：延伸學習：當 α = 0 即為悲觀準則，α = 1 即為樂觀準則。
