高考申論題
114年
[工業工程] 工程統計學與品質管制
第 一 題
📖 題組：
三、在某一製程中每隔 1 小時抽取容量為 n = 5 的樣本。共抽取 50 組樣本後，我們計算出 X̄̄ = 10.0 和 s̄ = 0.5。假設兩張管制圖均顯示是穩定製程狀態，且品質特性服從常態分布。當 n = 5，C4 = 0.94，A3 = 1.427，B4 = 2.089，B3 = 0。（每小題 10 分，共 30 分） (一)估計製程的標準差？ (二)計算 X-bar 和 S 管制圖的管制上界限和下界限？ (三)如果製程的平均值變為 10.5，計算製程仍處於統計管制下的機率是多少？（以標準常態分配的累積密度函數呈現，不須提供數值）
三、在某一製程中每隔 1 小時抽取容量為 n = 5 的樣本。共抽取 50 組樣本後，我們計算出 X̄̄ = 10.0 和 s̄ = 0.5。假設兩張管制圖均顯示是穩定製程狀態，且品質特性服從常態分布。當 n = 5，C4 = 0.94，A3 = 1.427，B4 = 2.089，B3 = 0。（每小題 10 分，共 30 分） (一)估計製程的標準差？ (二)計算 X-bar 和 S 管制圖的管制上界限和下界限？ (三)如果製程的平均值變為 10.5，計算製程仍處於統計管制下的機率是多少？（以標準常態分配的累積密度函數呈現，不須提供數值）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
估計製程的標準差？
思路引導 VIP
看到本題要求估計「製程標準差 (σ)」，應立刻聯想到統計製程管制 (SPC) 中利用樣本標準差平均值 (s̄) 計算不偏估計量的公式。將已知資訊 s̄ 與管制圖常數 C4 直接代入公式 σ̂ = s̄ / C4 即可求解。
小題 (二)
計算 X-bar 和 S 管制圖的管制上界限和下界限？
思路引導 VIP
看到要求計算 X-bar 與 S 管制圖界限，應立即聯想到對應的 3-sigma 管制圖常數公式。由於題目已給定總平均 X-double-bar、平均標準差 s-bar 及相關常數（A3, B3, B4），直接代入 X-bar 圖界限公式（X-double-bar ± A3s-bar）與 S 圖界限公式（B4s-bar, B3*s-bar）即可求得。
小題 (三)
如果製程的平均值變為 10.5，計算製程仍處於統計管制下的機率是多少？（以標準常態分配的累積密度函數呈現，不須提供數值）
思路引導 VIP
本題考查管制圖的「型 II 錯誤（Type II error, β 風險）」概念。當製程平均值發生偏移時，判斷製程『仍處於統計管制下』的機率，即為新的樣本平均數 $\bar{X}$ 依然落在原來的 $\bar{X}$ 管制界限內的機率。解題時需先求出原管制界限與樣本平均數的標準差，再將偏移後的新平均值代入，透過標準化公式 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_1}{\sigma_{\bar{X}}}$ 轉換，最後以標準常態分配的累積密度函數 $\Phi$ 呈現即可。
X-bar 與 S 管制圖
💡 利用樣本標準差監控製程變異，並估計母體參數以設定管制界限。
🔗 管制圖分析與 β 風險計算流程
- 1 參數估計 — 由 s̄ 與 c4 係數回推製程母體標準差 σ̂。
- 2 界限建立 — 依據 A3, B3, B4 等係數設定 X-bar 與 S 圖之 UCL/LCL。
- 3 製程偏移 — 設定新的母體平均值 μ1 (如 10.5)，並計算新分配。
- 4 β 機率計算 — 計算 P(LCL ≤ X̄ ≤ UCL | μ1)，衡量製程失控卻未偵測出的風險。
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：ARL (平均鏈長) 的計算與管制圖靈敏度評估。
