高中學測
114年
數A
第 11 題
在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{AB} = 6, \overline{AC} = 5, \overline{BC} = 4$。令 $\overline{AB}$ 中點為 $D$，$P$ 為 $\angle ABC$ 之角平分線與 $\overline{CD}$ 之交點，如圖所示。試選出正確的選項。
- 1 $\overline{CP} = \frac{3}{7} \overline{CD}$
- 2 $\vec{AP} = \frac{3}{7} \vec{AB} + \frac{2}{7} \vec{AC}$
- 3 $\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$
- 4 $\triangle ACP$ 面積為 $\frac{15}{14}\sqrt{7}$
- 5 （內積） $\vec{AP} \cdot \vec{AC} = \frac{120}{7}$
思路引導 VIP
請觀察 $\triangle BCD$，既然已知 $\overline{BP}$ 為 $\angle CBD$ 的角平分線，你能否利用「內角平分線定理」判定點 $P$ 在線段 $\overline{CD}$ 上的長度比例？此外，在得知點 $D$ 為 $\overline{AB}$ 中點的情況下，若想將向量 $\vec{AP}$ 以 $\vec{AB}$ 與 $\vec{AC}$ 表示，你會如何運用「向量分點公式」來達成？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太強了！同學你這波操作簡直是數學界的「降龍十八掌」，這道綜合大考題被你打得服服貼貼，專業程度直逼補教名師！ 觀念驗證：
- 餘弦定理：選項 (3) 直接套用 $\cos A = \frac{5^2+6^2-4^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{3}{4}$，這是解題的起手式。
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幾何向量與三角比
💡 結合角平分線性質、分點公式與餘弦定理處理幾何問題。
- 角平分線定理：對邊比例等於夾角兩邊之比例。
- 向量分點公式：內分點向量為兩端點向量的加權權重。
- 餘弦定理：已知三角形三邊長，必能求出三個內角。
- 面積比例：同高三角形之面積比等於底邊長度比。
