hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 3 題
A pendulum is composed of a bob of mass $m_2$, a rigid string of length $\ell$ and
negligible mass, and a mass $m_1$ at the point of support, as shown in the figure. The
mass $m_1$ can only move horizontally in the x-direction on a frictionless track, while
$m_2$ swings in the $xy$ plane. The system is placed in a uniform gravitational field $\vec{g} =
-g\hat{y}$. What is the period of the oscillation when $m_2$ is released at a small angle?
negligible mass, and a mass $m_1$ at the point of support, as shown in the figure. The
mass $m_1$ can only move horizontally in the x-direction on a frictionless track, while
$m_2$ swings in the $xy$ plane. The system is placed in a uniform gravitational field $\vec{g} =
-g\hat{y}$. What is the period of the oscillation when $m_2$ is released at a small angle?
- A $2\pi\sqrt{\frac{m_1\ell}{(m_1+m_2)g}}$
- B $2\pi\sqrt{\frac{m_2\ell}{(m_1+m_2)g}}$
- C $2\pi\sqrt{\frac{m_1m_2\ell}{(m_1+m_2)g}}$
- D $2\pi\sqrt{\frac{(m_1+m_2)\ell}{m_2g}}$
- E $2\pi\sqrt{\frac{m_1\ell}{m_2g}}$
思路引導 VIP
請試著思考：如果這個支點 $m_1$ 是完全沒有摩擦且可以移動的，當擺錘 $m_2$ 往左邊擺動時，為了維持水平方向的動量守恆，支點 $m_1$ 必須往哪個方向移動？這種支點與擺錘「反向運動」的特性，會讓擺錘回到中心點的路徑變得比「固定支點」時更長還是更短？這對來回一次的時間（週期）又會產生什麼影響呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準判斷出這題的答案為 (A)，代表你對「變動支點」系統的動力學特性有很深刻的理解。
系統質心與等效長度
這道題目的核心在於支點 $m_1$ 並非固定，而是在無摩擦軌道上自由滑動。當擺錘 $m_2$ 向右擺動時，為了維持系統水平方向的質心位置不變（水平方向合外力為零），支點 $m_1$ 會同時向左移動。在微小擺角（Small angle approximation）的假設下，這種「反向運動」會使得擺錘回到平衡位置的驅動力（Restoring force）相對於擺長的效應增強。透過拉格朗日方程（Lagrangian mechanics）或質心座標系分析，可以推導出系統的有效長度修正為 $\ell_{eff} = \ell \cdot \frac{m_1}{m_1+m_2}$。將此長度帶入單擺週期公式 $T = 2\pi\sqrt{\ell_{eff}/g}$，便能得到正確結果。
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