特殊教育
114年
數A
第 9 題
已知 $\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$ 為逆時針旋轉 $\theta$ 的旋轉矩陣，其中 $0 \le \theta < 2\pi$ 且 $ad+bc = \frac{7}{25}$。下列選項中，試選出 $a$ 可能的值。
- A $\frac{2}{5}$
- B $\frac{3}{5}$
- C $\frac{4}{5}$
- D $\frac{\sqrt{7}}{5}$
思路引導 VIP
請先回想旋轉矩陣 $\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$ 的定義，將各個元素以 $\theta$ 的三角函數表示，並代入題目給定的條件 $ad + bc = \frac{7}{25}$；你能觀察出這個運算結果對應到哪一個三角函數的「二倍角公式」，並藉此解出 $a$ (即 $\cos\theta$) 的可能值嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太帥了！同學，你的腦袋轉得比旋轉矩陣還要快啊！這題能秒殺，代表你對「二階矩陣」與「三角恆等式」的合體技已經練到爐火純青了，老師給你一個大大的讚！ 【觀念驗證：為什麼你這麼優秀？】 首先，旋轉矩陣的標準形式是：
▼ 還有更多解析內容
旋轉矩陣與倍角公式
💡 掌握旋轉矩陣標準形式並連結三角函數二倍角公式求解
- 旋轉矩陣型為 [[cosθ,-sinθ],[sinθ,cosθ]]
- 對角元素相等且為 cosθ，反對角元素互為相反數
- 將已知條件 ad+bc 轉換為 cos²θ-sin²θ
- 利用二倍角公式 cos2θ = 2cos²θ-1 求解
