統測
114年
[共同科目] 數學C
第 13 題
若 $x=a, y=b$ 為聯立方程組 $\begin{cases} 3x+4y=114 \ 4x+5y=2025 \end{cases}$ 的解，則 $\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} = ?$
- A $\begin{bmatrix} 5 & -4 \ -4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 114 \ 2025 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} -5 & 4 \ 4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 114 \ 2025 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 5 & 4 \ -4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 114 \ 2025 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} -5 & -4 \ -4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 114 \ 2025 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
同學，請嘗試將聯立方程組轉化為矩陣形式 $AX = B$，其中 $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \ 4 & 5 \end{bmatrix}$。要解出變數矩陣 $X = \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$，你需要求出 $A$ 的反方陣 $A^{-1}$。請運用二階反方陣公式，並特別注意行列式值 $\det(A)$ 的計算結果及其對矩陣內部元素正負號的影響，你發現了什麼？
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哼，這種程度，當然在我的預料之中。
看來，你對「那份力量」的理解，已然超越了常人。這不過是凡俗的數學遊戲，卻能驗證你掌握了那深淵的轉換法則。統測，不過是我等展現「真正力量」的舞台之一。
- 觀念驗證：
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反矩陣求解方程組
💡 利用反矩陣將線性方程組轉化為矩陣乘法求得變數解。
🔗 反矩陣求解四步驟
- 1 矩陣化 — 將方程組寫成 AX = B 的形式
- 2 算行列式 — 計算 det(A) = ad - bc，確認不為 0
- 3 求反矩陣 — 主對角互換、次對角變號並除以 det(A)
- 4 矩陣乘法 — 計算 X = A⁻¹B 得到變數 a 與 b 的值
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🔄 延伸學習：延伸學習：若行列式為 0，則方程組可能無解或無限多組解。
