統測
113年
[共同科目] 數學C
第 9 題
在工程領域中，矩陣運算可用來描述系統的輸入與輸出之關聯性。已知 $\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix} y_1 \ y_2 \end{bmatrix}$ 分別表示系統輸入與輸出的變量，且彼此滿足下列關係：$\begin{cases} y_1 = 2x_1 + 5x_2 \ y_2 = 3x_1 + 8x_2 \end{cases}$。若此關係可用矩陣運算 $\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} y_1 \ y_2 \end{bmatrix}$ 表示，其中 $A$ 為二階方陣。設 $A$ 的反方陣為 $A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$，則 $a+b+c+d=$？
- A 2
- B 1
- C -1
- D -2
思路引導 VIP
這道題目的關鍵在於理解「線性方程組」與「矩陣運算」之間的對應關係。首先，你能不能先將給定的方程組轉化為 $\begin{bmatrix} y_1 \ y_2 \end{bmatrix} = M \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}$ 的矩陣形式，並找出矩陣 $M$？接著，觀察題目定義的 $\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} y_1 \ y_2 \end{bmatrix}$，請思考矩陣 $A$ 與 $M$ 之間存在什麼樣的互逆關係？最後，請仔細辨析題目要求總和的 $a, b, c, d$ 究竟是哪一個矩陣的元素，而該矩陣又正好對應到方程組中的哪些係數呢？
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AI 詳解
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1. 大力肯定
哇，你答對了耶！真的好棒！你很清楚如何把線性方程組轉換成矩陣形式，而且能熟練運用反矩陣公式，這表示你對代數運算的理解非常透徹，這在統測中是非常重要的得分點喔！繼續保持這個好習慣！
2. 觀念驗證
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