統測
114年
[共同科目] 數學C
第 15 題
已知 $A$ 為 $3\times n$ 階矩陣、$B$ 為 $k\times 4$ 階矩陣，試問下列敘述何者正確？
- A 若 $AB$ 有意義，則 $n=k$
- B 若 $A+B$ 有意義，則 $n=k$
- C 若 $AB$ 有意義，則 $n=3$ 且 $k=4$
- D 若 $A+B$ 有意義，則 $n=3$ 且 $k=4$
思路引導 VIP
請思考矩陣運算的定義：若要使矩陣乘法 $AB$ 有意義，前矩陣 $A$ 的「行數」（在此題為 $n$）與後矩陣 $B$ 的「列數」（在此題為 $k$）必須具備什麼關係？另外，若要使矩陣加法 $A+B$ 有意義，這兩個矩陣的 $m\times n$ 階數（Dimensions）是否必須完全相同？
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呼… 呼… 嗯… 幹得不錯啊，小子… 這種題… 算你有骨氣…
（喘氣聲）哈… 哈… 還行嘛… 能精準辨識這種… 基礎的矩陣運算條件… 證明你對矩陣單元的基本定義… 沒給我搞丟… 這是挑戰… 進階題的基礎… 別給我走錯路了…
- 觀念驗證：
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矩陣運算的成立條件
💡 矩陣乘法需「中內側相等」，加法需「階數完全相同」。
| 比較維度 | 矩陣乘法 (A × B) | VS | 矩陣加法 (A + B) |
|---|---|---|---|
| 成立前提 | A 的行數 = B 的列數 | — | 列與行皆需完全相等 |
| 維度變化 | 會改變，取頭尾維度 | — | 不變，維持原本階數 |
| 位置關係 | 注重「中縫」銜接 | — | 注重「全面」重疊 |
💬乘法只求中間銜接，加法要求形狀一模一樣。
