第 三 題

1. 圓柱座標系下，z 方向之納維-斯托克斯方程式為： $\rho \left( \frac{\partial v_z}{\partial t} + v_r \frac{\partial v_z}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r} \frac{\partial v_z}{\partial \theta} + v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) = -\frac{\partial P}{\partial z} + \rho g_z + \mu \left[ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial v_z}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 v_z}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 v_z}{\partial z^2} \right]$
2. 依據題目假設進行簡化：

納維-斯托克斯方程式（Navier-Stokes equation）是應用「牛頓第二運動定律」（即動量守恆定律）之原理所推導而出的流體運動方程式。

當假設流體為「無黏性（inviscid）」或「忽略黏滯力（黏度 $\mu = 0$）」之理想流體時，納維-斯托克斯方程式即可簡化為歐拉方程式（Euler equation）。

1. 由層流管流拋物線流速分佈可知，平均流速 $v_{avg}$ 等於中心最大流速的一半： $v_{max} = v_z(0) = \frac{\Delta P \cdot R^2}{4\mu L}$ $v_{avg} = \frac{v_{max}}{2} = \frac{\Delta P \cdot R^2}{8\mu L}$