moea_joint_essay
104年
[化工製程] 單元操作、輸送現象
第 四 題
某種液體置於一開放式圓柱桶內，桶之下方接一排液管，如【圖 4】所示。試導證：圓柱桶內之液體排光所需時間之表示式為如下之形式。（20 分）
t_{eff} = $\frac{8 \mu L R^2}{\rho g R_0^4} \ln \frac{H+L}{L}$
假設：(1)不可壓縮性牛頓流體，物性視為一定。
(2)液體在圓柱桶之摩擦損失可忽略，液體由圓柱桶流入排液管處之摩擦損失可忽略，液體由排液管排至大氣處之摩擦損失可忽略。
(3)液體在排液管管壁之摩擦損失必須考慮，並假設為層流流動。
t_{eff} = $\frac{8 \mu L R^2}{\rho g R_0^4} \ln \frac{H+L}{L}$
假設：(1)不可壓縮性牛頓流體，物性視為一定。
(2)液體在圓柱桶之摩擦損失可忽略，液體由圓柱桶流入排液管處之摩擦損失可忽略，液體由排液管排至大氣處之摩擦損失可忽略。
(3)液體在排液管管壁之摩擦損失必須考慮，並假設為層流流動。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
利用巨觀機械能守恆（伯努利方程式加入摩擦項），並結合哈根-帕醉(Hagen-Poiseuille)定律計算管內層流的壓力降與流速。最後用質量守恆將管內流速轉換為桶內液面高度變化的微分方程式並積分求解時間。
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- 應用機械能守恆(Bernoulli equation with friction loss)於圓柱桶液面與排液管出口： 設定排液管出口高度為基準 (z = 0)，此時液面高度為 z = h + L。 由於兩處皆與大氣相通，壓力項 P1 = P2 = 1 atm；且桶體截面積甚大於排液管，液面下降速度 v1 可忽略 (v1 ≈ 0)。
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