普考申論題
115年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
一、2026 年金融市場見證了比特幣角色的重大轉變。隨美伊衝突升溫，黃金發揮避險功能大幅飆升，比特幣卻因其高風險係數屬性隨流動性收縮而下跌。研究員欲探討比特幣月收益率（以變數Y 表示，%）與黃金月收益率（以變數 X 表示，%）的關係，隨機抽取 18 個月份的數據做分析。（每小題 10 分，共 30 分）
一、2026 年金融市場見證了比特幣角色的重大轉變。隨美伊衝突升溫，黃金發揮避險功能大幅飆升，比特幣卻因其高風險係數屬性隨流動性收縮而下跌。研究員欲探討比特幣月收益率（以變數Y 表示，%）與黃金月收益率（以變數 X 表示，%）的關係，隨機抽取 18 個月份的數據做分析。（每小題 10 分，共 30 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
若用最小平方法，以黃金月收益率（ X ）為自變數，比特幣月收益率（Y ）為應變數，建立簡單直線迴歸模型，得 $\hat{Y} = 10 - 2X$，判定係數為 $R^2 = 0.36$，且已知這 18 個月黃金月平均收益率為 8。請以Y 為自變數，X 為應變數，用最小平方法建立簡單直線迴歸模型。
思路引導 VIP
看到這題，首先要辨識出考點為「反向迴歸（交換自變數與應變數）」。已知Y對X的迴歸直線，要推導X對Y的迴歸直線。切入順序應為：1. 透過判定係數求相關係數 r，請特別注意 r 的正負號必須與原迴歸係數斜率相同。 2. 利用原迴歸線方程式 $\hat{Y} = 10 - 2X$ 及給定的 $\bar{X}$ 求出 $\bar{Y}$。 3. 利用原迴歸斜率與 r 的關係式求出兩變數標準差之比，再帶入反向迴歸斜率公式。 4. 透過點 $(\bar{X}, \bar{Y})$ 必過迴歸線的性質求出反向迴歸的截距。
小題 (二)
續題(一)，若考慮簡單直線迴歸模型 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i, i = 1,2,...,18$，且假設誤差 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, ..., \varepsilon_{18}$ 彼此相互獨立且服從平均數為 0，變異數為 $\sigma^2$ 之常態分配，求檢定虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$ 之 t 檢定統計量之值。
思路引導 VIP
本題測驗「判定係數 $R^2$」與「t檢定統計量」之間的數學等式關係。應從 F 檢定與 t 檢定的關聯切入：在簡單線性迴歸中，檢定斜率的 $t^2$ 等於模型整體的 F 統計量，而 F 統計量又可由 $R^2$ 及樣本數 n 直接表出。解出 t 的絕對值後，務必記得利用 $\hat{\beta}_1$ 的正負號來決定 t 值的正負。
小題 (三)
續題(一)，若研究員因研究之需求，將變數進行線性轉換，定義新變數 $D_i = -2X_i$ 及 $E_i = 3Y_i+5, i = 1,2,...,18$。請以 $D_i$ 為自變數，$E_i$ 為應變數，用最小平方法建立新的簡單直線迴歸模型。
思路引導 VIP
考驗變數線性轉換下的 OLS 估計量性質。遇到變數轉換題型，不用傻傻重新算變異數與共變異數。由於最小平方法具有線性不變性，新變數的預測值 $\hat{E}_i$ 與原預測值 $\hat{Y}_i$ 會遵循相同的線性轉換關係。直接將 X 與 Y 用 D 與 E 替換，代回原本的迴歸模型，化簡整理成 $\hat{E} = \gamma_0 + \gamma_1 D$ 即可秒殺此題。