高考申論題
115年
[天文] 天文觀測
第 三 題
📖 題組：
三、某一學生用一台望遠鏡觀測某顆恆星，得其星等為x，誤差為σ_x。另一學生用另一台望遠鏡同時觀測同一顆星，得其星等為y，誤差為σ_y，且σ_x ≠ σ_y，現在想求這二次觀測的平均星等與星等差，算式如下： u = (x + y)/2 v = x - y 其中u為平均星等，v為星等差，請問：
三、某一學生用一台望遠鏡觀測某顆恆星，得其星等為x，誤差為σ_x。另一學生用另一台望遠鏡同時觀測同一顆星，得其星等為y，誤差為σ_y，且σ_x ≠ σ_y，現在想求這二次觀測的平均星等與星等差，算式如下： u = (x + y)/2 v = x - y 其中u為平均星等，v為星等差，請問：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
(三)以上述方法計算星等平均值為等權重平均法，事實上，利用權重平均法 u = w_x x + w_y y，其中 w_x + w_y = 1，可以降低u值的誤差，請證明如果
w_x = (1/σ_x^2) / (1/σ_x^2 + 1/σ_y^2) , w_y = (1/σ_y^2) / (1/σ_x^2 + 1/σ_y^2)
u的誤差值為最小。且此最小的誤差值為何？（12 分）
w_x = (1/σ_x^2) / (1/σ_x^2 + 1/σ_y^2) , w_y = (1/σ_y^2) / (1/σ_x^2 + 1/σ_y^2)
u的誤差值為最小。且此最小的誤差值為何？（12 分）
思路引導 VIP
這是一題典型的最佳化問題。目標是最小化 u 的變異數 Var(u)。首先寫出 Var(u) = w_x^2 * σ_x^2 + w_y^2 * σ_y^2。利用條件 w_x + w_y = 1，把 w_y 替換為 (1 - w_x)。這時 Var(u) 變成只關於 w_x 的單變數函數。對 w_x 微分並設為 0 以求極值，即可證明所求的權重公式。接著將算出的權重代回原變異數公式，求出最小誤差值。
小題 (一)
(一)u,v的誤差各為何？（8 分）
思路引導 VIP
本題測驗「誤差傳播定律（Error Propagation）」。首先假設這兩次獨立觀測 x 與 y 之間互相獨立（協方差為 0）。利用線性組合的變異數公式：Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) 來計算 u 與 v 的變異數，再開根號得到標準差（誤差）。
小題 (二)
(二)請用數學證明u與v並不獨立，並計算他們之間的相關係數（correlation coefficient）。（10 分）
思路引導 VIP
要證明兩個隨機變數 u 與 v 不獨立，最直接的方法是證明它們的共變異數（Covariance）不等於 0。利用 Cov(u, v) = Cov((x+y)/2, x-y) 展開計算。相關係數則是 ρ = Cov(u, v) / (σ_u * σ_v)，將(一)求得的值代入即可。