高考申論題
115年
[統計] 統計學
第 三 題
📖 題組：
一、2026 年國際貨幣基金組織、世界銀行與聯合國糧食計劃署聯合聲明指出，美伊最近在中東的衝突導致油價與化肥價格飆升，推高糧食價格，造成全球性系統性生存危機。假設某國際組織蒐集了 14 個低收入國家在衝突前後的化肥價格（以變數 X 表示，單位：美元／噸）及糧食價格指數（以變數 Y 表示）等相關數據，用以評估此危機之影響。（註：答案數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數表示） （每小題 10 分，共 30 分）
一、2026 年國際貨幣基金組織、世界銀行與聯合國糧食計劃署聯合聲明指出，美伊最近在中東的衝突導致油價與化肥價格飆升，推高糧食價格，造成全球性系統性生存危機。假設某國際組織蒐集了 14 個低收入國家在衝突前後的化肥價格（以變數 X 表示，單位：美元／噸）及糧食價格指數（以變數 Y 表示）等相關數據，用以評估此危機之影響。（註：答案數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數表示） （每小題 10 分，共 30 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
(三)續題(二)，若已知 \sum_{i=1}^{14} (X_i - $\bar{X})^2 = 100$，求 $\hat{\beta}_1$的標準誤 $\sqrt{Var(\hat{\beta}_1)}$之估計值。
思路引導 VIP
看到本題要求斜率的標準誤，首先應回憶標準誤公式 se(β_1) = √(MSE / S_xx)。題目已經給出 S_xx = 100，因此核心任務是求出均方誤差 MSE = SSE / (n-2)。可以利用上一題算出的 β_1 = 2 與 R² = 0.75，配合 S_xy = β_1 * S_xx 求出 S_xy，接著由 R² 推出 S_yy，最後用 SSE = S_yy(1 - R²) 算出 SSE，即可一連串順利解出。
小題 (一)
(一)考慮用最小平方法建立簡單直線迴歸模型 Y_i = $\beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i, i = 1,2,...,14$，假設誤差 \varepsilon_1, \varepsilon_2, ..., \varepsilon_{14} 彼此相互獨立且服從平均數為 0，變異數為 $\sigma^2$之常態分配。求在 H_0 : $\beta_1 = 0$之下，迴歸之判定係數（coefficient of determination）R^2 之機率密度函數。
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出這是迴歸分析中關於判定係數（R²）抽樣分配的進階考題。在虛無假說 H_0: β_1 = 0 且誤差項服從常態分配的假設下，應該聯想到變異數分析（ANOVA）中平方和的分配特性。接著應從 R² = SSR / (SSR + SSE) 的定義切入，利用 Cochran's Theorem 說明 SSR 與 SSE 的獨立性與各自除以變異數後的卡方（Chi-square）分配。最後運用「兩獨立卡方變數的比值」會服從 Beta 分配的理論，代入樣本數 n=14，推導出完整的機率密度函數，並記得算出前面的常數項。
小題 (二)
(二)以 14 個國家的資料及最小平方法進行估計，若以 Y 為應變數、X 為自變數作簡單直線迴歸，得 $\hat{Y} = 40 + 2X$；但若以 X 為應變數、Y 為自變數作簡單直線迴歸，得 $\hat{X} = 30 + 0.375Y$。針對題(一)之模型 Y_i = $\beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i, i = 1,2,...,14$，請計算用以檢定迴歸模型整體顯著性之 F 檢定統計量之值。
思路引導 VIP
本題測試考生對基礎迴歸性質的理解程度。看到給出「Y 對 X 的迴歸方程式」與「X 對 Y 的迴歸方程式」，必須立刻聯想到兩條迴歸線的斜率乘積即為判定係數（R² = β_yx * β_xy）。求出 R² 後，接著要思考 R² 與 F 檢定統計量的轉換關係：F = [R² / 1] / [(1-R²) / (n-2)]。代入 n=14，即可輕鬆算出結果。