第 五 題

這是一題標準的「次序統計量」考題。題意求三個獨立且相同的指數分配變數之最大值期望值 E[max(Z_1, Z_2, Z_3)]。對於指數分配而言，可以用「等待時間切割法」處理：先等第一顆壞掉，再等第二顆壞掉，最後等第三顆壞掉。因為指數分配具備無記憶性，這三段等待時間各自獨立且仍服從指數分配，只要將這三段時間的期望值相加即可得解。

本題分為兩個層次：一是求解指數分配參數 λ 的最大概似估計量（MLE），二是應用 MLE 的「不變性（Invariance Property）」求解機率函數的 MLE。首先寫出指數分配樣本的概似函數並取對數求導，得出 λ 的 MLE (即樣本平均數的倒數)。接著寫出事件「時間在 30 分鐘內」的理論機率，並注意單位轉換（30分鐘 = 0.5小時），最後將理論機率中的 λ 代換為求得的 MLE 即可。

看到「總量是隨機變數個數的隨機變數總和」，立刻辨識出這是「複合分配（Compound Distribution）」。要求複合分配的變異數，標準做法是使用條件變異數法則（Total Variance Law）：Var(S) = E[Var(S|N)] + Var(E[S|N])。只需分別列出 N 與 M 的期望值及變異數並代入公式即可。注意指數分配的變異數為期望值的平方。

辨識出多個獨立卜瓦松分配的組合。根據卜瓦松分配的可加性法則（Superposition property），獨立卜瓦松分配的總和仍然服從卜瓦松分配，且其參數等於原各參數之總和。求出總和的參數 λ 後，遇到「至少 1 次」的敘述，理所當然應轉換為「全部減去發生 0 次」的餘事件觀念進行計算。

給定總次數下，探討個別分項次數的機率，這是典型的「給定卜瓦松總數下的二項/多項分配」考點。可以把遺失分為「來自 A」與「不來自 A」兩類，求出這兩類的機率比例。既然知道總共發生了 3 次，這些次數會以該比例服從二項分配。求「全部都不是由 A 造成」等同於求此二項分配中「來自 A 為 0 次」的機率。

看見「已知已超過某時間，求未來一段時間的機率」，就必須直覺反應到指數分配的「無記憶性（Memoryless Property）」。此題針對的是「最早失效時間」，即次序統計量的最小值 Z_(1)。需先釐清 Z_(1) 本身服從什麼分配（因為它是三個指數分配的最小值，速率為總和），然後再直接利用無記憶性求算這段長度為 1 年的機率。

本題要求解系統存活的「剩餘時間」期望值。依據期望值的線性加法性（Linearity of Expectation），E[A - B] = E[A] - E[B]。本題的 A 為最大值，B 為最小值，而這兩者的期望值在前兩小題（五）、（六）中其實已經求出了。直接將兩者相減是最快的解法；另一種思考方式則是加總第二個與第三個間隔（Spacing）的期望值。兩種方式皆可驗證答案。