高考申論題
115年
[電信工程] 電磁學
第 一 題
📖 題組：
四、在笛卡兒座標系中，假設電磁場在真空的電場強度為 E(x,t) = \hat{y}A\cos(2\pi ft - kx) ，其中峰值 A、頻率 f 、角波數k均為定值。
四、在笛卡兒座標系中，假設電磁場在真空的電場強度為 E(x,t) = \hat{y}A\cos(2\pi ft - kx) ，其中峰值 A、頻率 f 、角波數k均為定值。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
證明此電場為波方程式之解。（15 分）
思路引導 VIP
證明題的標準動作：首先寫下真空中無源區域的電場一維波動方程式。接著，將題目給定的 E(x,t) 函數分別對空間 x 偏微分兩次，再對時間 t 偏微分兩次。最後，將結果代入波動方程式中，並援引真空中波速 c = f*λ = ω/k 的關係，證明兩邊等式恆成立。
小題 (二)
求該電磁場的平均坡印亭向量（Poynting vector）。（10 分）
思路引導 VIP
平均坡印亭向量可透過相量 (Phasor) 計算 S_avg = 1/2 Re[E_s × H_s*] 或在時域中計算 E×H 後取時間平均。需先由電場 E 導出磁場 H。注意電場在 y 方向，傳播方向為 +x，根據右手定則，磁場必然在 z 方向。計算時要記得除以真空本質阻抗 η0，並帶上 1/2 的係數。
電場波動方程式證明
💡 透過偏微分運算驗證波函數滿足真空中波動方程式與色散關係。
🔗 波動方程式證明三步驟
- 1 偏微分運算 — 對空間x與時間t各進行兩次偏微分取得係數
- 2 代入方程檢驗 — 將微分結果代入波動方程式消去場量函數
- 3 確認物理條件 — 導出k=ω/c並說明其符合真空波速定義
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：若介質非真空，則需考慮介電常數對波速之影響。
