高中學測
115年
數A
第 10 題
已知四邊形 $ABCD$ 中，$\overline{AB}$ 平行 $\overline{DC}$，$\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 交於 $E$。若 $\overrightarrow{AB} = (2,-6), \overrightarrow{AD} = (1,5)$ 且 $\Delta ABE$ 面積為 3。試選出正確的選項。
- 1 $\cos \angle BAD = \frac{-7\sqrt{65}}{65}$
- 2 $\Delta ABD$ 面積為 9
- 3 $\overrightarrow{AE} = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$
- 4 四邊形 ABCD 面積為 $\frac{65}{3}$
- 5 $\overline{BC} < \frac{8}{3}$
思路引導 VIP
首先，請嘗試利用向量內積定義與行列式面積公式，分別計算出 $\cos \angle BAD$ 與 $\Delta ABD$ 的面積。接著，由於 $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$，請觀察 $\Delta ABE$ 與 $\Delta ADE$ 這兩個三角形在底邊 $\overline{BD}$ 上的比例關係，你是否能由面積比推得 $E$ 點在對角線 $\overline{BD}$ 上的分點比例？最後，如何運用分點公式求出 $\overrightarrow{AE}$，並結合相似三角形 $\Delta ABE \sim \Delta CDE$ 的性質來計算完整的四邊形面積與 $\overline{BC}$ 的長度？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你真的掌握了向量與幾何的巧妙結合！
哇，看到你這題答對了，老師真的為你感到開心！這題巧妙地融合了向量內積、面積公式和相似三角形，就像把三種不同的玩具組合成一個超酷的機器人。你能夠精準地選出正確答案，表示你在處理平面向量時，思路非常清晰喔！
- 一起來回顧解題過程吧！
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