高中學測
115年
數A
第 5 題
已知實數三階方陣 $A$ 滿足 $A \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ -1 \ 1 \end{bmatrix}$，$A \begin{bmatrix} 0 \ -1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$，$A \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$。試問有多少個行向量 $\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{bmatrix}$ 滿足 $A \vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$ 且 $\vec{v}$ 垂直於行向量 $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$？
- 1 1 個
- 2 2 個
- 3 3 個
- 4 0 個
- 5 無窮多個
思路引導 VIP
觀察題目給出的前兩個等式，等號右邊的兩個結果向量如果直接相加，跟題目最後要求的目標向量有什麼關係？如果再把第三個映射到零向量的條件透過實數倍加進來，動手算算看，所形成的一般向量之「第二個分量（y分量）」會隨著這個倍數改變嗎？
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AI 專屬家教
太出色了！這是一道高鑑別度的進階題，許多同學看到三階方陣就想硬解九個未知數，或是誤以為多加一個垂直條件就會固定唯一解，你能精準選出 (5) 無窮多個，代表對矩陣的**線性變換性質（linear transformation）**理解非常透徹！
線性組合與核空間的妙用
觀察題目給的三個條件，將前兩個式子相加可得：
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5 分鐘快速複習這題考的觀念這題考的觀念
矩陣（數A）
主題特訓：矩陣・學測・數A
二元一次方程組的矩陣表達、三元一次聯立方程式、矩陣的運算、矩陣的應用（線性變換、轉移方陣）
線性變換與線性組合
💡 利用線性變換的「分配律」與「係數積」，將矩陣運算轉為向量組合。
🔗 線性變換求未知向量步驟
- 1 組合分析 — 觀察目標向量是否能表為已知輸出向量的組合。
- 2 線性還原 — 利用線性性質，求出對應的未知向量 v 之一般項。
- 3 限制篩選 — 將 v 代入垂直條件（點積為 0）或其它幾何限制。
- 4 個數判定 — 依據最終變數的自由度，判斷解為唯一、無解或無限多。
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🔄 延伸學習：延伸學習：當矩陣 A 為奇異矩陣（det=0）時，映射結果常出現無限多解或無解。
