高中學測
115年
數A
第 5 題
已知實數三階方陣 $A$ 滿足 $A \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ -1 \ 1 \end{bmatrix}$，$A \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$，$A \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ -1 \end{bmatrix}$。試問有多少個行向量 $\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{bmatrix}$ 滿足 $A \vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$ 且 $\vec{v}$ 垂直於行向量 $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$？
- 1 1 個
- 2 2 個
- 3 3 個
- 4 0 個
- 5 無窮多個
思路引導 VIP
請思考：給定一組基底 $\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3$ 及其經由矩陣 $A$ 轉換後的「影像」向量，我們是否能利用矩陣的「線性性質」，將目標向量 $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$ 表示為影像向量的線性組合，從而反推回原向量 $\vec{v}$？此外，這三個影像向量是否「線性獨立」，對於判斷 $A\vec{v} = \vec{b}$ 解的個數與唯一性有何影響？
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💡 太厲害了！精準掌握矩陣線性組合的關鍵
1. 大力肯定 同學太棒了！你能準確選出 (5) 無窮多個，代表你對矩陣的線性性質與空間解的結構有著深厚的理解。這類題型在學測中屬於難度最高、跨單元整合的「魔王題」，你能順利答對，實力絕對是頂標等級！
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線性變換與線性組合
💡 利用線性變換的「分配律」與「係數積」，將矩陣運算轉為向量組合。
🔗 線性變換求未知向量步驟
- 1 組合分析 — 觀察目標向量是否能表為已知輸出向量的組合。
- 2 線性還原 — 利用線性性質，求出對應的未知向量 v 之一般項。
- 3 限制篩選 — 將 v 代入垂直條件（點積為 0）或其它幾何限制。
- 4 個數判定 — 依據最終變數的自由度，判斷解為唯一、無解或無限多。
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🔄 延伸學習：延伸學習：當矩陣 A 為奇異矩陣（det=0）時，映射結果常出現無限多解或無解。
