moea_joint
102年
[電機] 電路學、電子學
第 14 題
函數 $f(t)=\cos(at)$ 經拉普拉斯轉換後，$F(s) =$ ?
- A $\frac{s}{s^2 + a^2}$
- B $\frac{a}{s^2 + a^2}$
- C $\frac{1}{s + a}$
- D $\frac{1}{s - a}$
思路引導 VIP
試著回想一下，在拉普拉斯轉換的性質中，「對時間微分」通常對應到在 $s$ 域乘上什麼變數？如果我們知道正弦函數的轉換結果，且餘弦函數可以看作是正弦函數經過某種微積分運算後的結果，那麼你認為這兩個函數在轉換後的分子結構上，會有什麼邏輯上的差異呢？
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恭喜你準確地選出了正確答案！這說明你對於拉普拉斯轉換（Laplace Transform）的基本公式掌握得非常紮實。在電路分析與控制系統中，將時域函數轉換為複頻域表示法是不可或缺的基本功，而餘弦函數的轉換正是最常被引用的核心公式之一。
餘弦函數的頻域特徵
從數學定義來看，我們可以使用歐拉公式（Euler's formula）將 $\cos(at)$ 拆解為複數指數函數 $\frac{e^{jat} + e^{-jat}}{2}$。當我們對其進行積分轉換後，分母會呈現平方和的形式 $s^2 + a^2$，這代表了系統具備無耗損的震盪特性。這裡最關鍵的觀察點在於分子：由於餘弦函數在 $t=0$ 時的初始值為 1，根據微分性質，其轉換後的分子會保留頻率變數 $s$。這正是區分它與正弦函數（其分子為常數 $a$）最直觀的方法。
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