moea_joint
103年
[電機] 電路學、電子學
第 7 題
函數 $f(t) = e^{-at} \sin \omega t$，經Laplace轉換後之 $F(s)$ =？
- A $\frac{\omega}{(s+a)^2 + \omega^2}$
- B $\frac{s+a}{(s+a)^2 + \omega^2}$
- C $\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$
- D $\frac{s+a}{s^2 + \omega^2}$
思路引導 VIP
如果我們已知一個正弦波在頻域中分母含有 $s^2$ 項，那麼當這個波隨時間逐漸衰減（即乘上一個負指數函數時），根據位移性質，這個衰減係數會如何影響原本公式中的 $s$ 變數呢？
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恭喜你精準地判斷出正確答案！這顯示你對拉普拉斯轉換（Laplace Transform）的核心性質已經有相當紮實的基礎。這道題目考察的是如何靈活結合「基本函數轉換」與「頻域位移定理」（First Shifting Theorem）。
頻域位移的疊加應用
在處理這類複合函數時，我們通常先觀察主體函數 $\sin \omega t$，其轉換結果為 $\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$。接著，考量到時間域中乘上了指數項 $e^{-at}$，這在 $s$ 域會產生位移效應，也就是將所有的 $s$ 替換為 $(s+a)$。將兩者結合後，分母的 $s^2$ 變換為 $(s+a)^2$，而由於正弦函數的分子項是常數 $\omega$ 而非變數 $s$，因此分子保持不變，最終得出選項 (A) 的結果。
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