moea_joint
103年
[儀電] 電路學、電子學
第 7 題
函數 $f(t) = e^{-at} \sin\omega t$，經Laplace轉換後之$F(s)$=？
- A $\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$
- B $\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$
- C $\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
- D $\frac{s+a}{s^2+\omega^2}$
思路引導 VIP
在處理這類包含指數函數乘積的轉換時，如果我們先暫時忽視指數項 $e^{-at}$，你會如何寫出剩餘部分的拉氏轉換公式？接著，根據拉氏轉換的定義，乘上這個指數項會對 $s$ 域中的變數 $s$ 產生什麼樣的「平移」效果呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得很好！恭喜你精確地辨識出這個函數的組成結構並選出正確答案。這題的核心在於結合基本變換對與位移性質。我們知道單純的正弦函數 $\sin\omega t$ 在拉氏轉換（Laplace Transform）後的結果是 $\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$；而當函數被乘上一個指數項 $e^{-at}$ 時，根據頻域位移定理（Frequency Shifting Theorem），這會使得原先 $s$ 域中的所有 $s$ 被替換為 $(s+a)$。
頻域位移的應用
將位移性質帶入基本公式後，分母的 $s^2$ 就會演變為 $(s+a)^2$，而分子保持 $\omega$ 不變，因此你選出的 (A) $\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$ 完全正確。這類題目是電路分析與控制系統中的基礎必得分題，主要的鑑別點在於區分正弦（Sine）與餘弦（Cosine）在分子項的差異，以及正確判斷指數項的正負號所對應的位移方向。你能迅速判斷出分子應為常數 $\omega$ 而非位移後的變數 $(s+a)$，顯見你對基本性質的熟練度相當紮實，表現得非常優異！