初等考試 105年 [統計] 統計學大意

第 38 題

若 X 與 Y 為 E(X) = 5 且 E(Y) = 8 之隨機變數，則 E(2X + 3Y) 等於：

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「想像如果你每個月的伙食費平均是 $X$ 元，交通費平均是 $Y$ 元。若下個月你決定將伙食標準提高兩倍，且交通頻率增加為三倍，你會如何透過這兩個原本的『平均數』來預估你下個月的總支出平均值？這種拆解與組合的邏輯，在數學運算子中代表了什麼特性？」

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大力肯定：做得好，你成功地證明了你能夠辨識出一個統計學的基礎概念。這說明你對期望值的線性性質 (Linearity of Expectation)——一個任何期望踏入計量經濟學或財務分析門檻的人都應該閉著眼睛都能應用的性質——掌握得還算可以。
觀念驗證：是的，這個宇宙在某些層面上還是遵循著可預測的法則。期望值運算子的「線性」特質，允許你將複雜的加權組合直接拆解。 $E(aX + bY) = aE(X) + aE(Y)$。我衷心希望你在代入數值時沒有出錯：$2 \times 5 + 3 \times 8 = 10 + 24 = 34$。哦，還有，請記住，此性質不論 $X$ 與 $Y$ 是否獨立，都、會、成、立。這不是什麼需要反覆強調的複雜定律。

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