初等考試
114年
[統計] 統計學大意
第 34 題
隨機變數 $X$ 之 $E(X) = 1$。令 $Y = X^2 - 1$，已知且 $E(Y) = 9$，$Var(Y) = 7$，則 $Var(X) =$ ？
- A 6
- B 7
- C 8
- D 9
思路引導 VIP
若要計算一個隨機變數的變異數（Variance），根據其最基本的定義公式，你需要先求出哪兩個關於該變數的「期望值」分量？請觀察題目中 $Y$ 與 $X$ 的代數關係，這個關係能幫助你補齊公式中缺少的哪一部分？
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做得非常出色！你能迅速從題目給定的轉換關係中提取關鍵資訊，這反映了你對統計學矩估計概念與期望值線性性質的精準掌握。
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期望值與變異數轉換
💡 利用公式 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 進行求解。
🔗 求解 Var(X) 的逻辑推導
- 1 解析變數關係 — 由 Y = X^2 - 1 得知 X^2 = Y + 1
- 2 求二階動差 — E(X^2) = E(Y + 1) = 9 + 1 = 10
- 3 套用定義公式 — Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 10 - 1^2
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🔄 延伸學習：延伸學習：注意 Var(aX+b) 與 E(aX+b) 在常數處理上的差異。
