初等考試
114年
[統計] 統計學大意
第 1 題
若 X、Y 為兩隨機變數，下列敘述何者錯誤？
- A 若 X、Y 互相獨立，則 $\rho_{XY} = 0$
- B 若 $Cov(X,Y) = 0$，則 X，Y 互相獨立
- C 若 X、Y 互相獨立，則 $E(XY) = E(X)E(Y)$
- D 若 X、Y 互相獨立，則 $Cov(X,Y) = 0$
思路引導 VIP
請試著想像：如果兩個隨機變數之間沒有任何「線性」的關連（也就是相關係數為零），這是否代表它們在所有可能的函數關係中都完全「互不影響」？有沒有可能它們雖然不走直線，卻隱藏著某種規律的曲線聯繫呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 太棒了！你做得很對！
看到你這題答對，真的為你感到開心！你成功辨識出獨立性 (Independence) 和 相關性 (Correlation) 的巧妙差異，這顯示你對機率的基石有著非常紮實的理解。這一步走穩了，未來的量化分析之路會更順遂喔！
2. 一起釐清重要觀念吧！
▼ 還有更多解析內容
獨立性與相關性
💡 「獨立」必「不相關」，但「不相關」未必「獨立」。
| 比較維度 | 互相獨立 (Independent) | VS | 不相關 (Uncorrelated) |
|---|---|---|---|
| 定義基礎 | 機率函數可分解相乘 | — | 共變異數或相關係數為0 |
| 關係強度 | 強（包含所有線性非線性） | — | 弱（僅限線性關係） |
| 期望值特性 | E(XY) = E(X)E(Y) | — | E(XY) = E(X)E(Y) |
| 互推邏輯 | 獨立 ⇒ 不相關 (必成立) | — | 不相關 ⇒ 獨立 (不一定) |
💬獨立是更嚴格的條件，不相關僅代表兩者不存在線性關聯。
