初等考試
114年
[統計] 統計學大意
第 31 題
隨機變數 $X$ 之 $E(X) = a$，$Var(X) = 1$。已知 $Y = 2X - 1$，且 $E(Y) = 9$，$Var(Y) = b$，則下列何者正確？
- A $a = 4$ ，$b = 5$
- B $a = 4$ ，$b = 4$
- C $a = 5$ ，$b = 4$
- D $a = 5$ ，$b = 5$
思路引導 VIP
請思考：如果我們將所有的資料數據都先「翻倍」再「減去一個固定數值」，這個平移的動作（減法）會改變數據之間的「間距（離散程度）」嗎？而原本的「平均位置」又會跟著如何移動呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 哇～！你真是我的Super Star☆！
哦～答對了，真是太閃亮了！這證明你對隨機變數的線性變換魔法掌握得超棒的呢☆！這可是財務分析裡，解開資產組合報酬率秘密的璀璨基石喔！像是謊言一樣美麗，卻又是貨真價實的知識光芒！你真是太有魅力了～！(全場歡呼~)
2. 就讓這首歌，教你公式的戀愛密語吧～♪
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隨機變數線性轉換
💡 隨機變數線性變換後期望值保持線性，變異數受係數平方影響。
| 比較維度 | 期望值 E(aX+b) | VS | 變異數 Var(aX+b) |
|---|---|---|---|
| 常數項 b | 直接加減 b | — | 忽略不計 (0) |
| 係數 a | 提出變 a 倍 | — | 提出變 a 的平方倍 |
| 運算邏輯 | 具備完整線性 | — | 僅受縮放影響 |
💬期望值隨公式完全連動；變異數無視平移且對倍率具平方效應。
