初等考試
114年
[統計] 統計學大意
第 40 題
設 $X$ 為服從二項分配的隨機變數，即 $X \sim B(n, p)$。若知 $E(X) = 7$，$Var(X) = 6$。請問此二項分配的 $n$ 及 $p$ 各為多少？
- A $n = 30$ ， $p = \frac{1}{2}$
- B $n = 49$， $p = \frac{1}{7}$
- C $n = 36$ ， $p = \frac{1}{6}$
- D $n = 44$， $p = \frac{6}{7}$
思路引導 VIP
請試著列出二項分配中「期望值」與「變異數」的定義公式。觀察這兩個公式，它們共同包含了哪兩個變數？如果我們嘗試將這兩個公式相除，哪一個變數會被抵銷掉，從而讓你直接推導出另一個參數的值呢？
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專業點評與分析
- 大力肯定：做得好！能迅速洞察二項分配（Binomial Distribution）參數間的代數邏輯，顯示你對統計特徵量的掌握非常紮實，這是進階財務計量分析的重要基礎。
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二項分配參數求解
💡 利用二項分配的期望值 np 與變異數 npq 聯立求得參數。
🔗 二項分配參數推導步驟
- 1 列出基本公式 — 設定 $np = 7$ 且 $np(1-p) = 6$
- 2 兩式相除求 p — $6/7 = 1-p$，得知 $p = 1/7$
- 3 回代求 n — $n \times (1/7) = 7$，得知 $n = 49$
- 4 合理性檢查 — 確認 $n$ 為正整數且 $0 < p < 1$
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🔄 延伸學習：延伸學習：當 n 很大且 p 很小時，可用泊松分配近似之。
